Rješenja zadatka "Metoda posljednje znamenke (primjer)" korisnika "Patrlk"

Točno

19. listopada 2022. 00:01 (2 godine, 2 mjeseci)

Korisnik: Patrlk
Zadatak: Metoda posljednje znamenke (primjer) (Sakrij tekst zadatka)

Metoda posljednje znamenke je samo poseban slučaj metode kongruencija kojom ćemo se pozabaviti neki drugi put koristeći kao uvod predavanje s ovogodišnje Ljetne škole: https://drive.google.com/drive/folders/170lvUaNcIh_BsNTtRsrZHARXhKRW2-4t?usp=sharing

PRIMJER 1:

Riješi diofantsku jednadžbu $x^2 + 10y = 1234567$ .

RJEŠENJE:

Kvadrat cijelog broja može završavati jednom od znamenaka 0, 1, 4, 5, 6 ili 9. S obzirom da $10y$ završava znamenkom 0, zadnja znamenka od $x^2+10y$ može biti 0, 1, 4, 5, 6 ili 9. Kako broj s desne strane jednakosti završava znamenkom 7, zadana jednadžba nema cjelobrojnih rješenja.

PRIMJER 2:

Riješimo diofantsku jednadžbu $x^2 + 5y = 37191834641769123$ .

RJEŠENJE:

Budući da kvadrat cijelog broja završava sa znamenkom 0, 1, 4, 5, 6, ili 9,a broj $5y$ sa znamenkom 0 ili 5, slijedi da zbroj na lijevoj strani završava s 0, 1, 4, 5, 6, ili 9, a nikako s 3. Dakle, zadana diofantska jednadžba nema rješenja.

Zadatci za samostalno rješavanje

1. Nađi sve parove prirodnih brojeva $(a, b)$ takvih da vrijedi: $6^a + 5^b = 3737 \dots 3747 \hspace{10mm} \text{(ukupno 37 puta se ponavlja 37).}$

2. Nađite cjelobrojna rješenja jednadžbe: $5^x + y^4 = 194482$ .

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

1. Zadatak Uočimo da će zadnja znamenka broja $6^a$ za $a \in \mathbb{N}$ biti $6$ i također uočimo isto i za $5^b$ da je zadnja znamenka $5$ što bi značilo da če njihov zbroj imati zadnju znamenku $1$ što dokazuje da jednađba $6^a + 5^b = 3737373....3747$ Nema prirodnih rješenja.

2. Zadatak Opet primjetimo zadnja znamenka broja $5^x$ je $5$ , a zadnje znamenke broja $y^4$ mogu biti $1$ , $5$ ili $6$ kako god da ih zbrojimo nečemo dobiti da je zadnja znamenka broj $2$ . Što znači da nema cjelobrojnih rješenja.

Ocjene: (1)

Komentari:

Patrlk, 22. listopada 2022. 19:42

$y_{1/2} = \pm \sqrt[4]{194481}$

I stvarno će za $x=0$ imati rješenja! I to dva! Samo ih treba naći :)

A i trebalo bi nekom rečenicom na natjecanju objasniti zašto za $x<0$ nema rješenja (npr. ... zbog zatvorenost cijelih brojeva na zbrajanje/oduzimanje/množenje).

Aaa vidim da za $x = 0$ bi moglo biti jedno rješenje, a za $x < 0$ nema rješenja

MatesV13, 22. listopada 2022. 19:34

I stvarno će za $x=0$ imati rješenja! I to dva! Samo ih treba naći :)

A i trebalo bi nekom rečenicom na natjecanju objasniti zašto za $x<0$ nema rješenja (npr. ... zbog zatvorenost cijelih brojeva na zbrajanje/oduzimanje/množenje).

Aaa vidim da za $x = 0$ bi moglo biti jedno rješenje, a za $x < 0$ nema rješenja

Patrlk, 22. listopada 2022. 18:46

Aaa vidim da za $x = 0$ bi moglo biti jedno rješenje, a za $x < 0$ nema rješenja

MatesV13, 22. listopada 2022. 17:35

1. zadatak je dobar, bravo!

U 2. zadatku treba paziti, pošto je $x$ cjelobrojan, ne smijemo direktno zaključiti da broj $5^x$ završava na $5$ (dapače, jednadžba ima rješenje). Treba doraditi slučajeve!

Školjka

Ocjene: (1)

Komentari: