Neocijenjeno
18. veljače 2023. 23:06 (1 godina, 4 mjeseci)
Odredi sve prirodne brojeve
za koje kvadratna jednadžba
ima cjelobrojna rješenja.
Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje kvadratna jednadžba $$x^2-3nx+n+3=0$$ ima cjelobrojna rješenja.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Da bi rjesenja bila cijeli brojevi.
Onda imamo
![9n^2 - 4n - 12 = m^2](/media/m/e/8/d/e8ded00f754986d6d09c2d57be15511d.png)
Opet stavimo
![D_n = k^2](/media/m/5/a/3/5a3a1db8936568a501d364aa4ec3852a.png)
![k^2 - 36m^2 = 448](/media/m/2/f/e/2fe3c60deda7f2a6f683f854ea20fba4.png)
Bez gubitka opčenitosti neka su nam kvadrati pozitivni.
![2k = p + q](/media/m/1/3/d/13d3ef9cbfac624642124c527c60a1a8.png)
Jedini djelitelji broja 448 da je zbroj njihov djeljiv sa 2 su (14 , 32) , ( 28 , 16) , (56 , 8) , (112 , 4) , (228 , 2)
Je jedini za koji će n biti prirodan broj. Sad uvrstimo to da dobijemo
Uzimamo + jer je n prirodan broj. Tako da inamo ![n = 2](/media/m/5/c/e/5ce9cc9702577bfb9e96fab805553c19.png)
Što možemo provjeriti da vrijedi.
Da bi rjesenja bila cijeli brojevi.
$$D_x = m^2 , m \in \mathbb{Z}$$
Onda imamo
$$9n^2 - 4n - 12 = m^2$$
Opet stavimo
$$D_n = k^2$$
$$16 + 4(9)(12 + m^2) = k^2$$
$$k^2 - 36m^2 = 448$$
Bez gubitka opčenitosti neka su nam kvadrati pozitivni.
$$(k - 6m)(k + 6m) = 448$$
$$k - 6m = p$$
$$k + 6m = q$$
$$2k = p + q$$
Jedini djelitelji broja 448 da je zbroj njihov djeljiv sa 2 su (14 , 32) , ( 28 , 16) , (56 , 8) , (112 , 4) , (228 , 2)
$$k = 32$$
Je jedini za koji će n biti prirodan broj.
Sad uvrstimo to da dobijemo $n$
$$n = \frac{4 \pm k}{18}$$
Uzimamo + jer je n prirodan broj.
Tako da inamo
$$n = 2$$
Što možemo provjeriti da vrijedi.