Školjka

Znamo $$2^{2n} \equiv 1 \ (\textrm{mod} \ 3)$$ $$2^{2n + 1} \equiv 2 \ (\textrm{mod} \ 3)$$ I znamo da kvadrat može imat ostatak $0$ ili $1$ mod 3. Provjerimo da $2^2 + 2^2$ nije prost. Sad svi ostali prosti brojevi su neparni. Znaći $2^p$ daje ostatak $2$ što znaći da bi kvadrat trebao dat ostatak $0$ ili $1$ ali onda bi $2^p + p^2$ trbao biti $3$ što je jedino moguće za $1$ a on nije prost. Tako da $x^2$ daje ostatak $0$ mod 3. Jedini brojevi koji to zadovoljavaju su višekratnici broja $3$ a pošto mi tražimo prost broj jedina mogučnost je $3$. Tako da $p = 3$ je jedini mogućnost. Samo trebamo još provjerit $$2^3 + 3^2 = 17$$ $$p = 3$$ Jedino rješenje.