Točka je središte trokutu upisane kružnice, a simetrala kuta siječe stranicu u točki . Dokaži da je ako i samo ako vrijedi .
%V0
Točka $S$ je središte trokutu $ABC$ upisane kružnice, a simetrala kuta $\angle BAC$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $D$. Dokaži da je $|AS|:|SD|=2:1$ ako i samo ako vrijedi $|CA|+|AB|=2|BC|$.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili! Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Za oba smjera možemi koristit činjenicu da je nožište od S do stranice jednako r.
Onda u 1. Slučaju preko
Zaključujemo Odakle ide sličnost trokuta.
2. Slučaj idemo samo obratno.
Sličnost nam govori da je Odakle ako idemo unazad dobijamo
Za oba smjera možemi koristit činjenicu da je nožište od S do stranice $|BC|$ jednako r.
Onda u 1. Slučaju preko
$$P = rs$$
$$cv = r(a + b + c)$$
$$cv = r(3c)$$
Zaključujemo
$$v = 3r$$
Odakle ide sličnost trokuta.
2. Slučaj idemo samo obratno.
Sličnost nam govori da je $v = 3r$
Odakle ako idemo unazad dobijamo
$$c*3r = r(a + b + c)$$
$$3c = a + b + c$$
$$a + b = 2c$$
Školjka 
je središte trokutu 
upisane kružnice, a simetrala kuta 
siječe stranicu 
u točki 
. Dokaži da je 
ako i samo ako vrijedi 
. 
jednako r.
Zaključujemo 
Odakle ide sličnost trokuta.
Odakle ako idemo unazad dobijamo 
