Neocijenjeno
8. prosinca 2022. 00:41 (1 godina, 7 mjeseci)
Ako su
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
,
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
,
![c](/media/m/e/a/3/ea344283b6fa26e4a02989dd1fb52a51.png)
pozitivni realni brojevi takvi da je
![\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1,](/media/m/3/1/c/31ca3e70abeac974ab125c19916abd56.png)
dokažite nejednakost
%V0
Ako su $a$, $b$, $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $$
\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1,
$$ dokažite nejednakost $$
(a-1)(b-1)(c-1)\geq 8.
$$
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Čim sam vidio ovo pomislio sam na CSB
![\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)(a + b + c) \geq 9](/media/m/7/3/6/7369944e760786cd7f4e403702badc2b.png)
Al onda sam skužia da mi to nepomaže.
Ali zapravo pomaže. Jer tamo imamo
![a + b + c \geq 9](/media/m/8/f/2/8f2a84e8b78c6662730fef68a8a1737c.png)
A to je isto kao i
![(a - 1)(b - 1)(c - 1) \geq 8](/media/m/2/1/4/21480f2f9eb1cfe904083069a11c798e.png)
Iz početne imamo ![abc = ab + bc + ac](/media/m/7/e/c/7ecbcfc90517ad3d1fde2601c8f98505.png)
Tako da dodamo li to našoj "točnoj" nejednakosti. Imamo
Sad oduzmemo 1 ![a + b + c + abc - ab - bc - ac - 1 \geq 8](/media/m/d/6/6/d66e478943259d3c825aa90d572446aa.png)
I to se faktorizira u originalnu nejednakost.
Čim sam vidio ovo pomislio sam na CSB
$$\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)(a + b + c) \geq 9$$
Al onda sam skužia da mi to nepomaže.
Ali zapravo pomaže. Jer tamo imamo
$$a + b + c \geq 9$$
A to je isto kao i
$$(a - 1)(b - 1)(c - 1) \geq 8$$
Iz početne imamo $abc = ab + bc + ac$
Tako da dodamo li to našoj "točnoj" nejednakosti. Imamo
$$a + b + c + abc - ab - bc - ac \geq 9$$
Sad oduzmemo 1
$$a + b + c + abc - ab - bc - ac - 1 \geq 8$$
I to se faktorizira u originalnu nejednakost.