Točno
7. prosinca 2022. 01:20 (1 godina, 7 mjeseci)
Izračunaj zbroj
Izračunaj zbroj
$$ \frac{2^2 + 1}{2^2 - 1} + \frac{3^2 + 1}{3^2 - 1} + \dots + \frac{100^2 + 1}{100^2 - 1} \text{.} $$
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kao prvo najbolje mi izgleda da izvućem jedinicu iz svakog razlomka na način : ![\frac{a^2 + 1}{a^2 - 1} = 1 + \frac{2}{a^2 - 1}](/media/m/4/1/3/4137139e19209df8bb9be15014dd48e2.png)
Sad sve to mogu zapisat kao
![99 + \sum_{i = 2}^{100} \frac{2}{(i - 1)(i + 1)}](/media/m/b/2/e/b2e3aae98fe437928feda3cf4682ebb1.png)
Sad ovo je samo "teleskopiranje"
Tako da idemo rastavit na parcijalne razlomke.
![\frac{2}{(i - 1)(i + 1)} = \frac{A}{i - 1} + \frac{B}{i + 1}](/media/m/7/2/6/726f082212d753578820abe6821fcd51.png)
Obično bi ovaj postupak izostavio na školjci ali sada sam baš od neke volje da sve lipo raspišem.
Množenjem sa
dobijamo
Sad uvrstimo
( da bi se prvi član pokratio)
Sad uvrstavamo
(da bi se drugi član pokratio)
Znaći ovo su vrlo ljepa rješenja.
Sad imamo da je.
![\sum_{i = 2}^{100} \frac{2}{(i - 1)(i + 1)} = \sum_{i = 2}^{100} \frac{1}{ i - 1} - \frac{1}{ i + 1}](/media/m/e/6/5/e65faa07fa9f6a1fe26784106adbc23a.png)
Idemo raspisati prvih par članova da vidimo kako se pokrati sve.
![\left[\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right] + \left[\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right] + ... + \left[\frac{1}{98} - \frac{1}{100}\right] + \left[\frac{1}{99} - \frac{1}{101}\right]](/media/m/7/3/b/73b72215baf454bf682316e3b14ffeff.png)
Sad nazovimo te parove
Primjetimo kako se
pokrati sa
Sad pošto je
imamo da će ostati ![a_1 + a_2 - b_{99} - b_{100}](/media/m/b/6/7/b67834858314efff00989d714c5cfcf3.png)
Tako da to je rezultat te sume
Rješenje je onda
Kao prvo najbolje mi izgleda da izvućem jedinicu iz svakog razlomka na način :
$$\frac{a^2 + 1}{a^2 - 1} = 1 + \frac{2}{a^2 - 1}$$
Sad sve to mogu zapisat kao
$$99 + \sum_{i = 2}^{100} \frac{2}{(i - 1)(i + 1)}$$
Sad ovo je samo "teleskopiranje"
Tako da idemo rastavit na parcijalne razlomke.
$$\frac{2}{(i - 1)(i + 1)} = \frac{A}{i - 1} + \frac{B}{i + 1}$$
Obično bi ovaj postupak izostavio na školjci ali sada sam baš od neke volje da sve lipo raspišem.
Množenjem sa $(i - 1)(i + 1)$ dobijamo
$$2 = A(i + 1) + B(i - 1)$$
Sad uvrstimo $i = -1$ ( da bi se prvi član pokratio)
$$B = -1$$
Sad uvrstavamo $i = 1$ (da bi se drugi član pokratio)
$$A = 1$$
Znaći ovo su vrlo ljepa rješenja.
Sad imamo da je.
$$\sum_{i = 2}^{100} \frac{2}{(i - 1)(i + 1)} = \sum_{i = 2}^{100} \frac{1}{ i - 1} - \frac{1}{ i + 1}$$
Idemo raspisati prvih par članova da vidimo kako se pokrati sve.
$$\left[\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right] + \left[\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right] + ... + \left[\frac{1}{98} - \frac{1}{100}\right] + \left[\frac{1}{99} - \frac{1}{101}\right]$$
Sad nazovimo te parove $a_n - b_n$
Primjetimo kako se $-b_n$ pokrati sa $a_{n + 2}$
Sad pošto je $100 \geq n \geq 1$ imamo da će ostati
$$a_1 + a_2 - b_{99} - b_{100}$$
Tako da to je rezultat te sume
Rješenje je onda
$$99 + 1 + 1/2 - 1/100 - 1/101$$
7. prosinca 2022. 14:33 | iivan | Točno |