Školjka

Zbrajanjem dvije jednakosti $$\left\lfloor \frac{x^2 + 1}{x +2} \right\rfloor \leq \frac{x^2 + 1}{x + 2}$$ $$\left\lfloor \frac{x - 1}{2} \right\rfloor \leq \frac{x - 1}{2}$$ Dobijamo $$\left\lfloor \frac{x^2 + 1}{x +2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{x - 1}{2} \right\rfloor \leq \frac{x(3x + 1)}{2(x + 2)}$$ Iz ovoga i uvjeta zadatka imamo da mora biti slučaj nejednakosti a to se događa kada je $$\left\lfloor \frac{x^2 + 1}{x +2} \right\rfloor = \frac{x^2 + 1}{x + 2}$$ $$\left\lfloor \frac{x - 1}{2} \right\rfloor = \frac{x - 1}{2}$$ Ili ti broj ispod floor funkcije je već cijel. Ovu druga jednakost nam samo govori da je $x = 2k + 1 , k \in \mathbb{Z}$ Tako da imamo $$\frac{x^2 + 1}{x + 2} = n$$ Gdje je $n \in \mathbb{Z}$ Djeljenjem polinoma imamo $$x - 2 + \frac{5}{x + 2} = n$$ $x$ je cijel tako da gledamo $$x + 2 = \pm 5$$ $$x + 2 = \pm 1$$ Odavde imamo 4 rješenja koja zadovoljavaju sve što se traži. $$x \in \{3 , -1 , -7 , -3\}$$ Valjda mogu ovako zapisat rješenje. Saznat ću valjda.