Točno
12. prosinca 2022. 23:37 (1 godina, 7 mjeseci)
Odredi sve realne brojeve \(x\) za koje vrijedi
\[
\left\lfloor \frac{x^2 + 1}{x + 2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{x - 1}{2} \right\rfloor = \frac{x(3x + 1)}{2(x + 2)}.
\]
\emph{Za realni broj \(t\), \(\lfloor t\rfloor\) je najveći cijeli broj koji nije veći od \(t\).
Na primjer, ako je \(t=3.14\), onda je \(\lfloor t \rfloor=3\).}
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Zbrajanjem dvije jednakosti ![\left\lfloor \frac{x^2 + 1}{x +2} \right\rfloor \leq \frac{x^2 + 1}{x + 2}](/media/m/1/2/1/12140d9af905f61644927ce1ba2af323.png)
![\left\lfloor \frac{x - 1}{2} \right\rfloor \leq \frac{x - 1}{2}](/media/m/9/c/a/9cac6a713c712062b590a452f97fea64.png)
Dobijamo ![\left\lfloor \frac{x^2 + 1}{x +2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{x - 1}{2} \right\rfloor \leq \frac{x(3x + 1)}{2(x + 2)}](/media/m/2/6/6/2669da50dfe945e786d50dd20689fe9f.png)
Iz ovoga i uvjeta zadatka imamo da mora biti slučaj nejednakosti a to se događa kada je
![\left\lfloor \frac{x - 1}{2} \right\rfloor = \frac{x - 1}{2}](/media/m/d/c/8/dc8c20523e964aecd6a984c90e541392.png)
Ili ti broj ispod floor funkcije je već cijel. Ovu druga jednakost nam samo govori da je ![x = 2k + 1 , k \in \mathbb{Z}](/media/m/8/1/5/81582d848d5fb630207fc4d3b3374236.png)
Tako da imamo
Gdje je ![n \in \mathbb{Z}](/media/m/d/f/e/dfe5840d3fe27657ce6bf27780cde99a.png)
Djeljenjem polinoma imamo
je cijel tako da gledamo
![x + 2 = \pm 1](/media/m/4/2/7/4275876854a2f9efc3f51e4b61baa513.png)
Odavde imamo 4 rješenja koja zadovoljavaju sve što se traži.
Valjda mogu ovako zapisat rješenje. Saznat ću valjda.
Zbrajanjem dvije jednakosti
$$\left\lfloor \frac{x^2 + 1}{x +2} \right\rfloor \leq \frac{x^2 + 1}{x + 2}$$
$$\left\lfloor \frac{x - 1}{2} \right\rfloor \leq \frac{x - 1}{2}$$
Dobijamo
$$\left\lfloor \frac{x^2 + 1}{x +2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{x - 1}{2} \right\rfloor \leq \frac{x(3x + 1)}{2(x + 2)}$$
Iz ovoga i uvjeta zadatka imamo da mora biti slučaj nejednakosti a to se događa kada je
$$\left\lfloor \frac{x^2 + 1}{x +2} \right\rfloor = \frac{x^2 + 1}{x + 2}$$
$$\left\lfloor \frac{x - 1}{2} \right\rfloor = \frac{x - 1}{2}$$
Ili ti broj ispod floor funkcije je već cijel. Ovu druga jednakost nam samo govori da je $x = 2k + 1 , k \in \mathbb{Z}$
Tako da imamo
$$\frac{x^2 + 1}{x + 2} = n$$
Gdje je $n \in \mathbb{Z}$
Djeljenjem polinoma imamo
$$x - 2 + \frac{5}{x + 2} = n$$
$x$ je cijel tako da gledamo
$$x + 2 = \pm 5$$
$$x + 2 = \pm 1$$
Odavde imamo 4 rješenja koja zadovoljavaju sve što se traži.
$$x \in \{3 , -1 , -7 , -3\}$$
Valjda mogu ovako zapisat rješenje. Saznat ću valjda.
13. prosinca 2022. 17:54 | iivan | Točno |