Školjka

Prvo najbolje da odmah provjerimo slučaj $(2 , 2)$ $$2^{2 - 1} + 2^{2 - 1} = 2^2$$ Sad kad je samo jedan jednak $2$ $$2^{p - 1} + p = n^2$$ Gledamo (mod 3) $$2^2 \equiv 1 \pmod 3$$ $$2^{2n} \equiv 1 \pmod 3$$ $$2 \mid p - 1$$ za $p \neq 2$ $$n^2 \equiv 0 \pmod 3$$ $$n^2 \equiv 1 \pmod 3$$ Ok tek sad kuzim da je ovo krivo al nema veze preskocit cu to pa kasnije editat. Gledamo slučaj gdje oba dva broja nisu $2$ $$p^{q - 1} + q^{p - 1} = n^2$$ Kad bi $$p^{q - 1} \equiv 1 \pmod 4$$ Onda bi trebalo biti $$q^{p - 1} \equiv 3 \pmod 4$$ A to je nemoguce. Jer ako $$q \equiv 1 \pmod 4$$ Ondq $$q^k \equiv 1 \pmod 4$$ A ako bi $$q \equiv 3 \pmod 4$$ Onda $$(q^{2})^k \equiv (3^2)^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod 4$$ Ovdje dobijemo da neki prost broj na neku parnu potenciju nikad nedaje ostatak 3 mod 4. I onda je i nemoguće da zbroj 2 broja koja imaju ostatak 1 mod 4 budu kvadrat.