Točno
2. travnja 2012. 20:03 (12 godine, 3 mjeseci)
Neka su
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
,
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
,
![c](/media/m/e/a/3/ea344283b6fa26e4a02989dd1fb52a51.png)
proizvoljni realni brojevi. Dokaži da je barem jedan od brojeva
![\left(a+b+c\right)^2 - 9ab \text{,} \quad \left(a+b+c\right)^2 - 9bc \text{,} \quad \left(a+b+c\right)^2 - 9ca](/media/m/0/f/6/0f6f72dd160bfeca66f890846111f6e1.png)
nenegativan.
%V0
Neka su $a$, $b$, $c$ proizvoljni realni brojevi. Dokaži da je barem jedan od brojeva $$\left(a+b+c\right)^2 - 9ab \text{,} \quad \left(a+b+c\right)^2 - 9bc \text{,} \quad \left(a+b+c\right)^2 - 9ca$$ nenegativan.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
pretpostavimo suprotno i zbrojimo sve 3:
![9ab + 9bc + 9ca > 3 ( a + b + c ) ^2](/media/m/4/c/c/4cc5a6f332900ef0d48079d6312812fd.png)
<==>
![ab + bc + ca > a^2 + b^2 + c^2](/media/m/6/4/1/64126841208650f8ac48ab0c34978861.png)
ali to ne vrijedi po AGu, iako su
![a,b,c](/media/m/3/6/4/36454fdb50fc50f021324b33a6b513e3.png)
mozda negativni
%V0
pretpostavimo suprotno i zbrojimo sve 3:
$9ab + 9bc + 9ca > 3 ( a + b + c ) ^2$ <==>
$ab + bc + ca > a^2 + b^2 + c^2$
ali to ne vrijedi po AGu, iako su $a,b,c$ mozda negativni
3. travnja 2012. 21:18 | ikicic | Točno |