Točno
2. veljače 2023. 22:33 (1 godina, 5 mjeseci)
Nađite sva rješenja jednadžbe
%V0
Nađite sva rješenja jednadžbe $$
\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{2x-3}=\sqrt[3]{12(x-1)}.
$$
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Naparavimo substituciju ![t = x - 1](/media/m/d/c/8/dc8a95807290bbba9707a70aba09203f.png)
(1) ovo će bit važno za kasnije. Sad sve dignemo na treću potenciju. ![(t + 1) + (2t - 1) + 3\sqrt[3]{(t + 1)(2t - 1)}(\sqrt[3]{t + 1} + \sqrt[3]{2t - 1}) = 12t](/media/m/3/1/c/31c0f842fb93717e5d491f8a741db6d9.png)
Sad uljepšajmo malo to
Ako se nevidi napravio sam sljedeće : prebacio sve što nije korjeni na desnu stranu , koristio (1) u zagradama , pokratio 3 sa obe strane i stavio sve pod isti korjen.
Sad sve na treću.
![12t(t + 1)(2t - 1) = 27t^3](/media/m/8/9/1/8911092cfc626238c1c0073dec59e9da.png)
Odmah uzmimo rješenje
i pokratimo za ostala.
![12(t + 1)(2t - 1) = 27t^2](/media/m/6/3/8/638b86a19edad73ed4cbcfd48e45e3ec.png)
Ovo je lipo kvadratna jednađba koja se svodi na
Drugo rješenje nam je ![t = 2](/media/m/b/a/3/ba32dd77afb909c41f88fc5f0d2bcfe7.png)
Sad sve to uvrstimo u ![x = t + 1](/media/m/5/f/2/5f2c468d9bc0382b2252776e102ae8c6.png)
I dobijemo ![x \in \{1 , 3 \}](/media/m/2/4/6/246093d46d36576737857b3d6ac5260c.png)
I da provjerio sam da rade ta rješenja.
Naparavimo substituciju
$t = x - 1$
$$\sqrt[3]{t + 1} + \sqrt[3]{2t - 1} = \sqrt[3]{12t}$$
(1) ovo će bit važno za kasnije.
Sad sve dignemo na treću potenciju.
$$(t + 1) + (2t - 1) + 3\sqrt[3]{(t + 1)(2t - 1)}(\sqrt[3]{t + 1} + \sqrt[3]{2t - 1}) = 12t$$
Sad uljepšajmo malo to
$$\sqrt[3]{12t(t + 1)(2t - 1)} = 3t$$
Ako se nevidi napravio sam sljedeće : prebacio sve što nije korjeni na desnu stranu , koristio (1) u zagradama , pokratio 3 sa obe strane i stavio sve pod isti korjen.
Sad sve na treću.
$$12t(t + 1)(2t - 1) = 27t^3$$
Odmah uzmimo rješenje $t = 0$ i pokratimo za ostala.
$$12(t + 1)(2t - 1) = 27t^2$$
Ovo je lipo kvadratna jednađba koja se svodi na
$$(t - 2)^2 = 0$$
Drugo rješenje nam je $t = 2$
Sad sve to uvrstimo u $x = t + 1$
I dobijemo
$$x \in \{1 , 3 \}$$
I da provjerio sam da rade ta rješenja.