Školjka

Žao mi je što ne mogu importati sliku iz geogebre ali dobro. Iz prvog uvjeta zaključujemo da su $B$-Apolonijeva kružnica u $ABC$ i $D$-Apolonijeva u $ADC$ iste: neka ona ima središte $O$. Također neka je $P$ drugi presjek kružnica $AXD$ i $BXC$. BSO zbog položaja točaka recimo da je $O$ lijevo od $A$ na $AC$, $X$ unutar trokuta $APB$ \\ $\bold{Lemma}$: $P$ je na $AC$\\ dokaz: Neka je $P'$ presjek $AC$ i $AXD$. Znamo $\angle AP'X=\angle ADX=\angle XBC$, odakle slijedi $XP'CB$ tetivan.\\ $\bold{Lemma}$: Neka je $XYZ$ trokut i točka $W$ unutar njega. Tada je $\angle XWY=\angle XZY+\angle ZXW+\angle ZYW$\\ dokaz: trivijalno\\ Sad je ideja prebaciti konačan uvjet na $P$: znamo: \[\angle APB+\angle CPD=\angle AXB-\angle XAP-\angle XBP+\angle CXD+\angle XDP+\angle XDP=\angle AXB+\angle CXD\]. To daje da je dovoljno pokazati da $AP$ raspolavlja kut $BPD$, što u kombinaciji s Apolonijevom daje da je dovoljno da je $OBPD$ tetivan. Sad, kako je $OB$ tangenta na $ABC$ i $OD$ tangenta na $ADC$ imamo \[\angle BOD=\angle BAD-\angle OBA-\angle ODA=\angle BAD-\angle BCA-\angle DCA=\angle BAD-\angle BCD\] \[\angle BPD=\angle BCD+\angle PDC+\angle PBC=\angle BCD+\angle PDC+\angle AXC-\angle AXP\] \[=\angle BCD+\angle PDC-180+\angle ADP+\angle XCB+\angle XAB+\angle ABC\] \[=2\angle BCD +\angle ABC+\angle ADC-180=180-\angle BAD+\angle BCD\], čime smo dokazali tetivnost