Rješenja zadatka "Državno natjecanje iz matematike 2015, SŠ2 A 5" korisnika "Patrlk"

Neocijenjeno

18. rujna 2023. 18:40 (1 godina, 7 mjeseci)

Korisnik: Patrlk
Zadatak: Državno natjecanje iz matematike 2015, SŠ2 A 5 (Sakrij tekst zadatka)

Skakavac se na početku nalazi u ishodištu brojevnog pravca, na broju $0$ , a zatim skače uvijek u istom smjeru. Za prirodni broj $k$ , skakavac u prvom skoku dolazi na broj $1$ , a svaki sljedeći skok je točno $k$ puta dulji od prethodnog. Na mjestu svakog višekratnika broja $2015$ nalazi se rupa.

Odredi sve prirodne brojeve $k$ takve da skakav može skočiti $2015$ puta, a da pritom ne uskoči u rupu.

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

Ajmo dokazat da je $k = 2015q$ Pretpodstavi da je $k = 2015q + r$ takav da nikoji od $1$ $1 + k$ $1 + k + k^2$ $...$ $1 + k + k^2 + ... + k^{2014}$ Nije djeljiv s $2015$ onda imamo $2015$ brojeva i $2014$ mogućih ostataka. Tako da dobijemo da : $2015 \ | \ k^n(1 + k + ... + k^{a})$ $a < 2014$ I odavde imamo da $2015 \ | \ k$ kontradikcija s činjenicom da je $k = 2015q + r$ Što znaći da je $k = 2015q$ i to zaista radi jer će ostatak uvjek biti $1$ tako da nikad neće upast u rupu.

Ok izgleda da sam za jednu oktavu falia. Zato što samo to što $2015 \ | \ k^n(1 + ...)$ ne znaći da $2015$ djeli $k$ Trebao sam promatrat slučaje gdje je $M(k , 2015) = 1$ i doć do kontradikcije.

Školjka