Neocijenjeno
16. svibnja 2023. 18:37 (1 godina, 2 mjeseci)
Na ploči su napisani brojevi
![1, \frac 12, \frac 13, \ldots, \frac{1}{2001}](/media/m/1/b/3/1b370df678adc598ec8894d106312019.png)
. Učenik odabire dva broja s ploče, recimo
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
i
![y](/media/m/c/c/0/cc082a07a517ebbe9b72fd580832a939.png)
, te izračuna broj
![x + y + xy](/media/m/9/e/2/9e27632315079c75d4184f871efc667f.png)
, rezultat zapiše na ploču, a
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
i
![y](/media/m/c/c/0/cc082a07a517ebbe9b72fd580832a939.png)
obriše. Odredite broj koji će ostati na ploči nakon što ovaj postupak obavi
![2000](/media/m/2/1/6/216477d1d2094f40c748772b62121291.png)
puta.
%V0
Na ploči su napisani brojevi $1, \frac 12, \frac 13, \ldots, \frac{1}{2001}$. Učenik odabire dva broja s ploče, recimo $x$ i $y$, te izračuna broj $x + y + xy$, rezultat zapiše na ploču, a $x$ i $y$ obriše. Odredite broj koji će ostati na ploči nakon što ovaj postupak obavi $2000$ puta.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Indukcijom ćemo dokazat da je odg 1
je komutativno što znaći da nas nije briga za redosljed.
Prebacimo zad tako da umisto da radimo x + y + xy , mi radimo
i brojevi :
Nek nam baza bude
i onda ćemo dokazat za ![n = k + 2](/media/m/0/6/d/06d1ebe88e7a53f01f52df448ffdccd7.png)
Za
to vrijedi. Sad pretpodstavimo da to vrijedi za ![n = k](/media/m/9/0/3/903ca2f02beb7bd6cdfee969b9059eeb.png)
Dokaz za
Imamo brojeve
Napravimo one korake da dobijemo :
Ova tri broja se pretvore u 1 nakon one funkcije ili kako god se zove.
Znaći to čudo je 1 za svaki neparan n veći od 1
Indukcijom ćemo dokazat da je odg 1
$x + y + xy$ je komutativno što znaći da nas nije briga za redosljed.
Prebacimo zad tako da umisto da radimo x + y + xy , mi radimo $\frac{x + y + 1}{xy}$ i brojevi : $1 , 2 , 3 , ...n$
Nek nam baza bude $n = 3$ i onda ćemo dokazat za $n = k + 2$
Za $n = 3$ to vrijedi. Sad pretpodstavimo da to vrijedi za $n = k$
Dokaz za $n = k + 2$
Imamo brojeve
$$1 , 2 , 3 ,... , k , k + 1 , k + 2$$
Napravimo one korake da dobijemo :
$$1 , k + 1 , k + 2$$
Ova tri broja se pretvore u 1 nakon one funkcije ili kako god se zove.
Znaći to čudo je 1 za svaki neparan n veći od 1