Neocijenjeno
7. rujna 2023. 22:54 (10 mjeseci, 1 tjedan)
Odredite sve pozitivne cijele brojeve
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
za koje jednadžba
![\frac1x + \frac1y = \frac1n](/media/m/5/c/b/5cb4cbfc620a4854f91fd31ea582d1d1.png)
ima točno pet rješenja
![\left(x,\,y\right)](/media/m/f/0/e/f0e6529f309cefa3ab5b2bd11e268028.png)
u skupu pozitivnih cijelih brojeva.
%V0
Odredite sve pozitivne cijele brojeve $n$ za koje jednadžba $$\frac1x + \frac1y = \frac1n$$ ima točno pet rješenja $\left(x,\,y\right)$ u skupu pozitivnih cijelih brojeva.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Klasična faktorizacija
$$(x - n)(y - n) = n^2$$
Gledajmo to ovako
$$(n - x)(n - y) = n^2$$
Kad bi oba faktora bila pozitivna dobili bi broj manji od $n^2$ stoga mora vrijediti $x > n , y > n$
Sad gledajmo da $x - n , y - n = \mathbb{N}$ tjst oni mogu postić sve vrijednosti.
Zato što ima točno 5 rješenje to znaći da $n^2$ ima 5 faktora tjst $n = p^2$