Neocijenjeno
8. rujna 2023. 20:21 (1 godina, 5 mjeseci)
Neka su

cijeli brojevi za koje vrijedi:

Dokažite da je broj

djeljiv s

,

.
%V0
Neka su $x,y,z,a,b,c$ cijeli brojevi za koje vrijedi:$$$\begin{align*}
x^2+y^2&=a^2\text{,} \\
x^2+z^2&=b^2\text{,} \\
y^2+z^2&=c^2\text{.} \\
\end{align*}$$$ Dokažite da je broj $xyz$ djeljiv s
$(a)$ $5$,
$(b)$ $55$.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Očito ne mogu sva tri imat ostatak
jer onda zbroj 2 s istim nebi bio kvadratni ostatak.
Analogno dokažeš da jedan mora biti djeljiv s
samo šta ima više ostataka. Tako da npr uzmeš prvi ostatak pa vidiš koje ostatke mogu imat ostala 2 (uvik ce bit samo 2 mogucnosti) i dokažeš da za te ostatke kad zbrojis iste ili razlicite nes nikad dobit kvadratni ostatak mod 11
$$a^2 \equiv 0 , 1 , 4 \pmod 5$$
Očito ne mogu sva tri imat ostatak $1 , 4$ jer onda zbroj 2 s istim nebi bio kvadratni ostatak.
Analogno dokažeš da jedan mora biti djeljiv s $11$ samo šta ima više ostataka.
Tako da npr uzmeš prvi ostatak pa vidiš koje ostatke mogu imat ostala 2 (uvik ce bit samo 2 mogucnosti) i dokažeš da za te ostatke kad zbrojis iste ili razlicite nes nikad dobit kvadratni ostatak mod 11