Neocijenjeno
9. rujna 2023. 16:37 (10 mjeseci, 1 tjedan)
Odredi najmanji prirodni broj
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
takav da je vrijednost izraza
![\frac{n^8+n^6+n^4+n^2+a}{n^2-1}](/media/m/2/2/b/22b296d7ce8adcd538545d6d7030b5e9.png)
za
![n = 2014](/media/m/c/b/a/cbaa6795b8dc1d7dcf07961fa82b3177.png)
cijeli broj djeljiv sa
![3](/media/m/b/8/2/b82f544df38f2ea97fa029fc3f9644e0.png)
.
%V0
Odredi najmanji prirodni broj $a$ takav da je vrijednost izraza $$\frac{n^8+n^6+n^4+n^2+a}{n^2-1}$$ za $n = 2014$ cijeli broj djeljiv sa $3$.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Očito je nazivnik djeljiv s $3$ i nije djeljiv s $9$
$a = 9k + 2$
Tako da bi brojnik bio djeljiv s $9$
Da bi ovo uopce bio cjeli broj mora vrijedit.
$$n^2 - 1 | a + 4$$
Očito $a + 4 \neq n^2 - 1$ to možemo vidjet $mod 9$ ali zato $a + 4 = 2(n^2 - 1)$
$$a = 2n^2 - 6$$
Radi. $a \equiv 2 \pmod 9$ i $a = (n^2 - 1)k - 4$ za najmanji $k$ moguć