Neocijenjeno
10. rujna 2023. 14:07 (10 mjeseci, 1 tjedan)
Nađite sva rješenja
![k, l, m \in \mathbb{N}](/media/m/d/7/b/d7b45516176ca6d5bb3ecc2c6afa6774.png)
jednadžbe:
![k!l! = k! + l! + m!\text{.}](/media/m/0/7/0/070d5af231b6049ec3a9373606990102.png)
(
![n!](/media/m/5/e/9/5e9bb819f1bfbf465700f6bc8831a1c7.png)
označava umnožak prirodnih brojeva od
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
do
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
.)
%V0
Nađite sva rješenja $k, l, m \in \mathbb{N}$ jednadžbe:
$$k!l! = k! + l! + m!\text{.}$$
($n!$ označava umnožak prirodnih brojeva od $1$ do $n$.)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Rješenje je $(k , l , m) = (3 , 3 , 4)$
Uvjerimo se da je $k = l$
Pretpodstavimo $k > l$
$$m! + 1 = (k! - 1)(l! + 1) \geq k! - 1$$
Imamo
$$m! \geq k! - 2$$
Za $k \geq 3$ očito vrijedi $m! \geq k!$
Onda iz početne jednađbe imamo $k! \ | \ l!$ odakle imamo $k = l$
Sad kad gledamo
$$k!(k! - 2) = m!$$
Za $k > 3$
$m! = (k + 2)!$ ili $m! = (k + 3)!$
To gledamo $v_2(m!) = v_2(k!) + 1$
A to očito nema rješenja. Dovoljno je pogledati prvih par. Na kraju $k! - 2$ raste puno više nego kvadrat ili kub.