Školjka

Tvrdimo da je rješenje $9$ Evo $1$ primjer : $$1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 36 , 64 , 100$$ Prvo uvjerimo se da će $2$ uvjek bit u skupu. Ako $2$ nije u skupu onda je najmanji broj u skupu koji nije $1$ mora biti jednak $1 + 1$ prema tvrdnji zadatka. Ok sad ajmo dokazat da rješenje ne može biti manje od $9$ Ajmo reć da postoji skup od osam brojeva $$1 , 2 , a_1 , a_2 , a_3 , a_4 , a_5 , 100$$ Brojevi su redom od najmanjeg do najvećeg. Maksimalna vrijednost $a_1$ je $4$ , $a_2$ je onda $8$ .... ,$a_5$ je $64$ odavde vidimo da će $a_5$ morat bit $50$. Tako da imamo $$1 , 2 , a_1 , a_2 , a_3 , a_4 , 50 , 100$$ Sad gledajući da $50$ ne može biti $a_4 + a_3$ radi njihovih maksimuma onda bi $a_4$ trebao biti $25$ $$1 , 2 , a_1 , a_2 , a_3 , 25 , 50 , 100$$ Sad bi $25$ trebao biti $2a_3$ ali to je očito kontradikcija. Naravno za broj manji od $8$ ovo je trivialno jer je onda maksimum zadnjeg člana (što bi trebao biti $100$) manji ili jednak $64$