Školjka

Gledamo mod $3$. $a^2$ daje $0,1$, $2^{b+1}$ daje $1,2$, jedina moguća kombinacija je $a^2\equiv 1, 2^{b+1}\equiv 2$ mod $3$. $b+1$ je neparan, odnosno $b$ je paran. $\forall \; b,4|3^c-a^2, 3^c$ daje $1,3$, a $a^2$ daje $0,1$ mod $4$. Jedina moguća kombinacija je $3^c\equiv 1$ mod $4$, odnosno $b=2k, k\mathbb\in{N}$ $(3^k-a)(3^k+a)=2^{b+1}$ $M(3^k+a,3^k-a)=M(2a,3^k-a)=1,2$, zbog toga što je $a$ neparan. (1.)$3^k+a=2^b, 3^k-a=2$ $$ 3^k-1=2^{b-1}$$ gledamo mod $4$, $ \forall\; b \ge 3, 3^k$ daje ostatak $1$, pa je $k=2k_1$ $$(3^{k_1}-1)(3^{k_1}+1)=2^{b-1}$$ $M=2\Rightarrow 3^{k_1}-1=2, k_1=1, 2^{b-2}=4, b=4,$ Dakle, za sve$ b\ge 3$, jedino rješenje je $(a,b,c)=(7,4,4)$ Sada samo moramo provjerit $b<3$ $b=1, 3^k=2$ , nemoguce $b=2,3^k=3, k=1,b=2,a=1\Rightarrow (a,b,c)=(1,2,2)$ (2.)$3^k+a=2^{b+1}, 3^k-a=1$ $$2^13^k=2^{b+1}+1$$ $2$ ne dijeli $1$, nemoguce. (3.)$ 3^k+a=2^x,3^k-a=2^y,$ $3^k=2^{x-1}+2^{y-1}$, neparni broj nije jednak parnom, pa $x$ ili $y$ moraju biti $1$.$x$ ocito ne moze biti $1$, pa je onda $y=1$,. Kako je $x+y=b+1, x=b$ pa uvrstavanjem $3^k=2^{b-1}+1$, no rješenje te jednadžbe smo vec našli. Jedina rješenja su $(a,b,c)=(1,2,2),(7,4,4)$