Školjka

Promjenimo malo zadatak : Nađimo sve $n\geq 2$ tako da za svaki $r \in S$ ,gdje je $S$ reduced residue class od $n$ , $r^2 \equiv 1 \pmod n$ ovo je ekvivalentan zadatak onome. Sad dokažimo da $p > 3$ ne može djelit $n$ Koristit ćemo činjenicu da je reduced residue class od $n$ također reduced residue class od $p$. Tako da postoji $r \in S$ tako da je $r = pk + 2$ Sad iz pretpostavke $$r^2 \equiv 1 \pmod n$$ Imamo i $$r^2 \equiv 1 \pmod p$$ Za svaki $r$. Što je kontradikcija ako ubacimo $r = pk + 2$ jer to bi znaćilo da je $$4 \equiv 1 \pmod p$$ Za $p > 3$ Odavde imamo da ne postoji nikakav prost broj veći od $3$ sad imamo da je $5 \pmod n \in S$ Tako da mora vrijediti : $$25 \equiv 1 \pmod n$$ Ili ti $n \ | \ 24$ što i jesu sva rješenja kad provjerimo.