Neka je prirodni broj i prosti broj. Ako je broj djeljiv brojem , a broj djeljiv brojem , dokaži da je kvadrat nekog prirodnog broja.
Neka je $n\geqslant 2$ prirodni broj i $p$ prosti broj. Ako je broj $p-1$ djeljiv brojem $n$, a broj $n^3 - 1$ djeljiv brojem $p$, dokaži da je $4p-3$ kvadrat nekog prirodnog broja.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili! Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Slijedi da
za svaki prirodni broj , desna strana jednakosti je uvijek veca od lijeve, stoga mora biti , a onda je , sto znaci da je
$$p=an+1$$
$$(n-1)(n^2+n+1)=pb$$
$an+1>n-1\Rightarrow p>n-1$
Slijedi da $p|n^2+n+1$
$$n^2+n+1=pc$$
$n^2+n+1=(an+1)c$
$c=n(n+1-ac)+1\Rightarrow c=nt+1$
$$n^2+n+1=(an+1)(nt+1)$$
$$n+1=ant+a+t$$
za svaki prirodni broj $t$, desna strana jednakosti je uvijek veca od lijeve, stoga $t$ mora biti $0$, a onda je $c=0+1=1$, sto znaci da je $p=n^2+n+1$
$4p-3=4n^2+4n+1=(2n+1)^2$
Školjka 
prirodni broj i 
prosti broj. Ako je broj 
djeljiv brojem 
, a broj 
djeljiv brojem 
kvadrat nekog prirodnog broja. 
za svaki prirodni broj 
, desna strana jednakosti je uvijek veca od lijeve, stoga 
, a onda je 
, sto znaci da je 
