Rješenja zadatka "Državno natjecanje iz matematike 2019, SŠ2 4" korisnika "prv123"

Neocijenjeno

25. studenoga 2023. 11:07 (12 mjeseci)

Korisnik: prv123
Zadatak: Državno natjecanje iz matematike 2019, SŠ2 4 (Sakrij tekst zadatka)

Odredi sve parove $(m,n)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $m^2 = n^5 + n^4 +1$ , a broj $m-7n$ dijeli $m-4n$ .

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

$(n^2+n+1)(n^3-n+1)=m^2$

$M(n^2+n+1,n^3-n+1)=d$

$d|n^3+n^2+n-n^3+n-1=n^2+2n-1$

$d|n-2, d| n^2+2n-1-n(n-2)=4n-1$

$d|4n-1-4(n-2)=7, d=1,7$

$M(m-7n,m-4n)=s$

$s|m-7n-(m-4n)=3n, s= m-4n$

$d=7$ $7|m-7n, 7|m,$ a prema pretpostavci $7|m-4n$ pa onda $7|n$ .

slicno kao i prije dobijemo $M(n^3-n+1,n^2+n+1)=M(-n+2,7)$ , dakle $n$ daje $2$ mod $7$ , sto znaci da je $d=1$ .

Tada imamo:

$n^3-n+1=m^2$ $n^2+n+1=1$ $(m,n)=( 1,0),(-1,0)$