Zadatak: Županijsko natjecanje iz matematike 2017, SŠ3 A 5 (Sakrij tekst zadatka)
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Odmah uočimo da je moguća kombinacija . Pokažimo da nije moguće imati više od 3 pozitivna / negativna broja u skupu. Riješimo pozitivan slučaj, negativan je kompletno analogan. Promatrajmo 4 pozitivna broja
, s tim da
. Primijetimo da nikada nećemo dobiti da je suma bilo kojeg para od tih 4 brojeva jednaka a ili b. Također, primijetimo da u bilo kojoj promatranoj trojci, za par brojeva koji ćemo sumirati nikada nećemo uzimati d jer je najveći, tj.
. Dakle imamo moguće trojke:
. Iz
mora vrijediti da
(jer je
, a jedino je
), a iz
isto tako mora vrijediti da
(jer je
, a jedino je
). Dobicamo da
. Netočna tvrdnja, dakle nemoguće je da imamo 4 pozitivna cijela broja, tj. nemoguće je imati 4 negativna broja. Dakle najviše moguće brojeva u skupu je 7.