Rješenja zadatka "Županijsko natjecanje 2006 SŠ2 2" korisnika "ceva18"

Neocijenjeno

11. prosinca 2023. 18:36 (11 mjeseci, 2 tjedna)

Korisnik: ceva18
Zadatak: Županijsko natjecanje 2006 SŠ2 2 (Sakrij tekst zadatka)

Odredi sve kompleksne brojeve $z$ za koje vrijedi $z\cdot |z|+2z+i=0\,.$

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

Neka je $z$ kompleksni broj oblika $z = x+yi, x,y \in \mathbb{R}$ . Ovakve jednadžbe se rješavaju koristeći jednakosti kompleksnih brojeva, odnosno: $z_{1} = z_{2}$ ako i samo ako je $\operatorname{Re} (z_{1}) = \operatorname{Re} (z_{2})$ i $\operatorname{Im} (z_{1}) = \operatorname{Im} (z_{2})$ .
Sredimo početnu jednadžbu: $(x+yi) \cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}} + 2(x+yi) + i = 0$ $x \cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}} +yi \cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}} + 2x+2yi + i = 0$ Grupirajmo realni i imaginarni dio izraza. Pritom se prisjetimo da je apsolutna vrijednost kompleksnog broja realan broj. $x \sqrt{x^{2}+y^{2}} +2x + 2yi + i +yi \cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}} = 0$ $x \sqrt{x^{2}+y^{2}} +2x + i (2y + 1 + y\sqrt{x^{2}+y^{2}}) = 0$ Bilo koji realni broj možemo prikazati kao kompleksni broj s imaginarnim dijelom jednakim nuli. Dakle, nulu možemo zapisati u obliku: $0 = 0 + 0i$ . $x \sqrt{x^{2}+y^{2}} +2x + i (2y + 1 + y\sqrt{x^{2}+y^{2}}) = 0 + 0i$ Iz jednakosti kompleksnih brojeva, dobijemo dvije jednadžbe koje čine sustav: $x \sqrt{x^{2}+y^{2}} +2x = 0,$ $2y + 1 + y\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 0.$ Sredimo prvu jednadžbu: $x(\sqrt{x^{2}+y^{2}} + 2) = 0,$ iz čega proizlazi da je $x=0$ ili $\sqrt{x^{2}+y^{2}} + 2 = 0$ . Valja primijeti kako drugi slučaj nema smisla jer se dobije $\sqrt{x^{2}+y^{2}} = -2$ , a vrijednost korijena ne može biti negativan broj. Zapišimo matematičkim rječnikom: $\sqrt{x^{2}+y^{2}} \geq 0, \forall x,y \in \mathbb{R}$ . Dakle, jedan i jedini uvjet je $x=0$ . Uvrstimo to u drugu jednadžbu: $2y + 1 + y\sqrt{0+y^{2}} = 0$ $2y + 1 + y\sqrt{y^{2}} = 0$ $2y + 1 + y|y| = 0$ 1. slučaj: ako je $y < 0$ . $2y + 1 + y(-y) = 0$ $y^{2} - 2y - 1= 0 \Rightarrow y = 1 \pm \sqrt{2}.$ Pazimo da smo promatrali $y < 0$ , tj. jedino rješenje ove jednadžbe je broj: $y = 1 - \sqrt{2}$ .
2. slučaj: ako je $y \geq 0$ . $2y + 1 + y(y) = 0$ $y^{2} + 2y + 1= 0 \Rightarrow y = -1.$ Pazimo da smo promatrali $y \geq 0$ , tj. ovaj slučaj nema rješenja: $y \in \emptyset.$
Dakle, jedino rješenje ove jednadžbe jest $z = i(1-\sqrt{2})$ .

Neka je $z$ kompleksni broj oblika $z = x+yi, x,y \in \mathbb{R}$. Ovakve jednadžbe se rješavaju koristeći jednakosti kompleksnih brojeva, odnosno: $z_{1} = z_{2}$ ako i samo ako je $\operatorname{Re} (z_{1}) = \operatorname{Re} (z_{2})$ i $\operatorname{Im} (z_{1}) = \operatorname{Im} (z_{2})$.\\ Sredimo početnu jednadžbu: $$(x+yi) \cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}} + 2(x+yi) + i = 0$$ $$x \cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}} +yi \cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}} + 2x+2yi + i = 0$$ Grupirajmo realni i imaginarni dio izraza. Pritom se prisjetimo da je apsolutna vrijednost kompleksnog broja realan broj. $$x \sqrt{x^{2}+y^{2}} +2x + 2yi + i +yi \cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}} = 0$$ $$x \sqrt{x^{2}+y^{2}} +2x + i (2y + 1 + y\sqrt{x^{2}+y^{2}}) = 0$$ Bilo koji realni broj možemo prikazati kao kompleksni broj s imaginarnim dijelom jednakim nuli. Dakle, nulu možemo zapisati u obliku: $0 = 0 + 0i$. $$x \sqrt{x^{2}+y^{2}} +2x + i (2y + 1 + y\sqrt{x^{2}+y^{2}}) = 0 + 0i$$ Iz jednakosti kompleksnih brojeva, dobijemo dvije jednadžbe koje čine sustav: $$x \sqrt{x^{2}+y^{2}} +2x = 0,$$ $$2y + 1 + y\sqrt{x^{2}+y^{2}} = 0.$$ Sredimo prvu jednadžbu: $$x(\sqrt{x^{2}+y^{2}} + 2) = 0,$$ iz čega proizlazi da je $x=0$ ili $\sqrt{x^{2}+y^{2}} + 2 = 0$. Valja primijeti kako drugi slučaj nema smisla jer se dobije $\sqrt{x^{2}+y^{2}} = -2$, a vrijednost korijena ne može biti negativan broj. Zapišimo matematičkim rječnikom: $\sqrt{x^{2}+y^{2}} \geq 0, \forall x,y \in \mathbb{R}$. Dakle, jedan i jedini uvjet je $x=0$. Uvrstimo to u drugu jednadžbu: $$2y + 1 + y\sqrt{0+y^{2}} = 0$$ $$2y + 1 + y\sqrt{y^{2}} = 0$$ $$2y + 1 + y|y| = 0$$ 1. slučaj: ako je $y < 0$. $$2y + 1 + y(-y) = 0$$ $$y^{2} - 2y - 1= 0 \Rightarrow y = 1 \pm \sqrt{2}.$$ Pazimo da smo promatrali $y < 0$, tj. jedino rješenje ove jednadžbe je broj: $y = 1 - \sqrt{2}$.\\ 2. slučaj: ako je $y \geq 0$. $$2y + 1 + y(y) = 0$$ $$y^{2} + 2y + 1= 0 \Rightarrow y = -1.$$ Pazimo da smo promatrali $y \geq 0$, tj. ovaj slučaj nema rješenja: $y \in \emptyset.$\\ Dakle, jedino rješenje ove jednadžbe jest $z = i(1-\sqrt{2})$.

Školjka