Školjka

Rastavimo početnu nejednakost na dvije nejednadžbe koje nam čine sustav:\\ 1. nejednadžba: $$\frac{\sqrt{3}\sin x}{2+\cos x} \geq -1$$ Primijeti kako u nazivniku imamo izraz takav da za svaki broj $x \in \mathbb{R}$ vrijedi: $\cos x + 2 > 0 \Rightarrow \cos x > -2$. Ta tvrdnja potječe iz tvrdnje da je funkcija $f(x) = \cos x$ omeđena, tj. za nju vrijedi: $f: \mathbb{R} \rightarrow [-1,1]$. Cijelu nejednadžbu možemo pomnožiti s nazivnikom s obzirom na to da znamo da je on uvijek pozitivan. Nejednadžba poprima oblik: $$\sqrt{3}\sin x\geq -(2+\cos x)$$ $$\sqrt{3}\sin x\geq -2-\cos x$$ $$\sqrt{3}\sin x + \cos x \geq -2$$ $$2 (\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x) \geq -2$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x \geq -1$$ $$ \sin (\frac{\pi}{3}) \sin x + \cos (\frac{\pi}{3})\cos x \geq -1$$ $$ \cos(x-\frac{\pi}{3}) \geq -1 \Rightarrow x\in\mathbb{R}$$ 2. nejednadžba: $$\frac{\sqrt{3}\sin x}{2+\cos x} \leq 1$$ $$\sqrt{3}\sin x \leq 2+\cos x$$ $$\sqrt{3}\sin x \leq 2+\cos x$$ $$\sqrt{3}\sin x - \cos x \leq 2$$ $$2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x) \leq 2$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x \leq 1$$ $$ \sin (\frac{\pi}{3}) \sin x- \cos (\frac{\pi}{3})\cos x \leq 1$$ $$ -\cos(x+\frac{\pi}{3}) \leq 1$$ $$ \cos(x+\frac{\pi}{3}) \geq -1 \Rightarrow x\in\mathbb{R}$$ Tražimo presjek rješenja nejednadžbi. Dakle, rješenje su svi realni brojevi odnosno: $x\in\mathbb{R}$.\\