Školjka U nekom je razredu trideset i troje učenika. Svaki učenik je na ploču napisao dva broja: koliko još učenika osim njega u razredu ima isto ime kao on, te koliko još učenika osim njega u razredu ima isto prezime kao on.
Ako se svaki od brojeva 
, 
, 
, 
, 
pojavljuje na ploči barem jednom, dokaži da u razredu postoji barem jedan par učenika istog imena i prezimena.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Ako se na ploči nalazi broj n to znači da jedan učenik ima isto ime ili prezime kao točno n ostalih učenika u razredu što vrijedi za svakog drugog učenika s tim imenom ili prezimenom, pa će na ploči, ako se nalazi barem jedan broj n, onda i nalaziti točno n+1 brojeva n. Zbog toga se na ploči nalazi jedan broj 0, dva broja 1, ...., deset brojeva 9 i jedanaest brojeva 10 što odgovara ukupnom broju učenika (1+ 2 +...+ 11 = 33 + 33). Kako se onda na ploči pojavljuje točno 11 različitih brojeva, to znači da je u razredu ukupno 11 različitih imena i prezimena. Neka je a broj različitih imena i b broj različitih prezimena. Vrijedi a + b = 11. Od a različitih imena i b različitih prezimena možemo sastaviti najviše a*b različitih imena učenika. Kako je a*b po A-G nejednakosti uvijek manji od (a*b<=(11/2)^2 <33) ukupnog broja učenika, odnosno kako je broj učenika veći od najvećeg mogućeg broja učenika s različitim imenima, postoji barem jedan učenik s istim imenom ili prezimenom.