Točno
20. listopada 2013. 19:29 (10 godine, 9 mjeseci)
Sakrij rješenje
Dokaži (ili ako ne znaš probaj izvesti) pravilo o djeljivosti s
![11](/media/m/0/d/2/0d2d0ab9a023da1d30a2ddc91cbc38db.png)
.
%V0
Dokaži (ili ako ne znaš probaj izvesti) pravilo o djeljivosti s $11$.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Zapisimo broj kao
![\overline{a_na_{n-1}a_{n-2}...a_1a_0}](/media/m/5/3/f/53fa695c0d86c30691b8fced4e37b467.png)
gdje su
![a_n,..., a_0](/media/m/a/3/0/a301cf10092b16c8ec0a7c2ffb9c25bd.png)
znamenke.
Neka je
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
ostatak tog broja pr djeljenju s
![11](/media/m/0/d/2/0d2d0ab9a023da1d30a2ddc91cbc38db.png)
.
Tada je
![\overline{a_na_{n-1}a_{n-2}...a_1a_0} \equiv x \pmod {11}](/media/m/5/7/d/57d7ee772c8667c469d916f2747fc7c3.png)
![10^na_n + 10^{n-1}a_{n-1} + ... + 10a_1 + a_0 \equiv x \pmod {11}](/media/m/6/0/e/60ebf25f92ca7e619fd4440404ae954f.png)
Kako je
![10 \equiv -1 \pmod {11}](/media/m/c/5/6/c5640d5ec39788d71a490fe4237fe9cb.png)
, nas izraz postaje
![(-1)^na_n +(-1)^{n-1} a_{n-1} + ...(-1)^1a_1 +(-1)^0a_0 \equiv x \pmod {11}](/media/m/a/d/a/ada30adc5035ef5dc00b552a767b5a0c.png)
Dakle, ako promatramo razliku sume znamenaka nekog broja na neparnim mjestima i sume znamenaka na pranim mjesitma dobiti cemo ostatak tog broja pri djeljenju s 11.
%V0
Zapisimo broj kao $\overline{a_na_{n-1}a_{n-2}...a_1a_0}$ gdje su $ a_n,..., a_0$ znamenke.
Neka je $x$ ostatak tog broja pr djeljenju s $11$.
Tada je $\overline{a_na_{n-1}a_{n-2}...a_1a_0} \equiv x \pmod {11}$
$10^na_n + 10^{n-1}a_{n-1} + ... + 10a_1 + a_0 \equiv x \pmod {11}$
Kako je $10 \equiv -1 \pmod {11}$, nas izraz postaje
$(-1)^na_n +(-1)^{n-1} a_{n-1} + ...(-1)^1a_1 +(-1)^0a_0 \equiv x \pmod {11}$
Dakle, ako promatramo razliku sume znamenaka nekog broja na neparnim mjestima i sume znamenaka na pranim mjesitma dobiti cemo ostatak tog broja pri djeljenju s 11.
20. listopada 2013. 19:30 | ikicic | Točno |