Točno
30. listopada 2013. 22:46 (10 godine, 8 mjeseci)
Sakrij rješenje
Dokaži indukcijom da je suma prvih
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
prirodnih brojeva jednaka
![\frac{n(n+1)}{2}](/media/m/8/1/9/819197f56025b061b5bf316dd80f34a2.png)
.
%V0
Dokaži indukcijom da je suma prvih $n$ prirodnih brojeva jednaka $\frac{n(n+1)}{2}$.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Baza![n=1](/media/m/4/e/4/4e466fe58c2a8f6389234c5c673f069c.png)
![1=\dfrac{1(1+1)}{2}](/media/m/5/f/9/5f9c8b71806af0c052c3b59f9466561d.png)
![1=\dfrac{1\cdot 2}{2}](/media/m/7/0/2/702bbce68ea7319edcfe5dd08673a480.png)
![1=1](/media/m/8/1/a/81a2503d9863ddb873ecfffeb0c86ac1.png)
Ova tvrdnja ocito vrijedi
PretpostavkaPretpostavimo da vrijedi
![1+2+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}](/media/m/2/c/e/2ce97e991b819b1113a1e78778c9214e.png)
za neki prirodan broj
KorakZelimo dokazati da
![1+2+...+n+(n+1)=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}](/media/m/3/3/a/33aab18e1de1afd929579996b079acb9.png)
Iz pretpostavke znamo da je
![1+2+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}](/media/m/2/c/e/2ce97e991b819b1113a1e78778c9214e.png)
, pa uvrstimo to
Dobivamo:
![\dfrac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}](/media/m/1/3/b/13bbfaa3ea6054a216a86bed9eadeac0.png)
![\dfrac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}](/media/m/d/6/6/d66730bde52d4c39626cdc8db7232a0f.png)
![\dfrac{(n+2)(n+1)}{2}=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}](/media/m/e/1/2/e1218aaf49dd464891a8b491d27ff06d.png)
Sto ocito vrijedi
%V0
[b]Baza[/b]
$n=1$
$1=\dfrac{1(1+1)}{2}$
$1=\dfrac{1\cdot 2}{2}$
$1=1$
Ova tvrdnja ocito vrijedi
[b]Pretpostavka[/b]
Pretpostavimo da vrijedi
$1+2+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
za neki prirodan broj $n$
[b]Korak[/b]
Zelimo dokazati da
$1+2+...+n+(n+1)=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$
Iz pretpostavke znamo da je
$1+2+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$, pa uvrstimo to
Dobivamo:
$\dfrac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$
$\dfrac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$
$\dfrac{(n+2)(n+1)}{2}=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$
Sto ocito vrijedi
21. listopada 2013. 19:28 | ikicic | Točno |