Točno
21. listopada 2013. 20:53 (10 godine, 9 mjeseci)
Sakrij rješenje
Zadan je niz
![a_n](/media/m/1/f/f/1ff6f81c68b9c6fb726845c9ce762d7a.png)
kao
![a_1 = 5](/media/m/f/3/5/f35d3b03c8d104ad9bdb815a2651a151.png)
,
![a_2=13](/media/m/f/5/2/f52fbedbb7062e628c30e37f3d3fd823.png)
i
![a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n](/media/m/2/6/5/2658eb1ae6e61dc196decc8adeb95142.png)
za
![n \in \mathbb{N}](/media/m/2/b/a/2ba27c6141ca415bb86bae1d237f1fac.png)
. Dokaži da za svaki član tog niza vrijedi
![a_n=2^n + 3^n](/media/m/9/5/e/95e10beecc0278de14886c49bea44f6d.png)
.
(
![a_n](/media/m/1/f/f/1ff6f81c68b9c6fb726845c9ce762d7a.png)
označava
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
-ti član niza. Ovdje su članovi niza definirani preko dva prethodna, tako je
![a_3](/media/m/e/5/1/e517d36771b6a4db32de5ee281210809.png)
definiran kao
![5a_2- 6a_1](/media/m/0/4/4/044b78cdff45a12dc389a795b9b172c1.png)
, a
![a_{1000}=5a_{999}-6a_{998}](/media/m/3/5/c/35c392af0b05a935ecbd0cd8e56a6428.png)
. Budući da jednakost vrijedi za svaki prirodni broj
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
, broj
![a_n](/media/m/1/f/f/1ff6f81c68b9c6fb726845c9ce762d7a.png)
je definiran za svaki prirodni broj
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
.)
%V0
Zadan je niz $a_n$ kao $a_1 = 5$, $a_2=13$ i $a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n$ za $n \in \mathbb{N}$. Dokaži da za svaki član tog niza vrijedi $a_n=2^n + 3^n$.
($a_n$ označava $n$-ti član niza. Ovdje su članovi niza definirani preko dva prethodna, tako je $a_3$ definiran kao $5a_2- 6a_1$, a $a_{1000}=5a_{999}-6a_{998}$. Budući da jednakost vrijedi za svaki prirodni broj $n$, broj $a_n$ je definiran za svaki prirodni broj $n$.)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
%V0
Buduci da je svaki clan niza definiran preko dva prethodna clana vjerojatno bi bilo korisno imati pretpostavku i za $n-1$, a ne samo za $n$, no za tako nesto potrebno je imati dvije baze. (U ovom slucaju za $1$ i $2$)
[b]Baza[/b]
$n=1$
$a_1=2+3$
$5=5$
$n=2$
$a_2=2^2 + 3^2$
$13 = 9 +4$
$13=13$
[b]Pretpostavka[/b]
$a_{n-1}=2^{n-1}+3^{n-1}$
$a_n=2^n + 3^n$\
Za neki prirodni broj $n>1$
[b]Korak[/b]
Zelimo dokazati $a_{n+1}=2^{n+1}+3^{n+1}$
Po definiciji $a_{n+1}=5a_n -6a_{n-1}$
Uvrstavanjem pretpostavke dobivamo:
$a_{n+1}= 5(2^n+3^n)-6(2^{n-1}+3^{n-1})$
$a_{n+1}=5\cdot 2^n+5\cdot 3^n-6\cdot 2^{n-1}-6\cdot 3^{n-1}$
$a_{n+1}=10\cdot 2^{n-1} - 6\cdot 2^{n-1} + 15 \cdot 3^{n-1} - 6 \cdot 3^{n-1}$
$a_{n+1}=4\cdot 2^{n-1} + 9 \cdot 3^{n-1}$
$a_{n+1}=2^{n+1} + 3^{n+1}$
21. listopada 2013. 20:54 | ikicic | Točno |