Školjka

%V0 Buduci da je svaki clan niza definiran preko dva prethodna clana vjerojatno bi bilo korisno imati pretpostavku i za $n-1$, a ne samo za $n$, no za tako nesto potrebno je imati dvije baze. (U ovom slucaju za $1$ i $2$) [b]Baza[/b] $n=1$ $a_1=2+3$ $5=5$ $n=2$ $a_2=2^2 + 3^2$ $13 = 9 +4$ $13=13$ [b]Pretpostavka[/b] $a_{n-1}=2^{n-1}+3^{n-1}$ $a_n=2^n + 3^n$\ Za neki prirodni broj $n>1$ [b]Korak[/b] Zelimo dokazati $a_{n+1}=2^{n+1}+3^{n+1}$ Po definiciji $a_{n+1}=5a_n -6a_{n-1}$ Uvrstavanjem pretpostavke dobivamo: $a_{n+1}= 5(2^n+3^n)-6(2^{n-1}+3^{n-1})$ $a_{n+1}=5\cdot 2^n+5\cdot 3^n-6\cdot 2^{n-1}-6\cdot 3^{n-1}$ $a_{n+1}=10\cdot 2^{n-1} - 6\cdot 2^{n-1} + 15 \cdot 3^{n-1} - 6 \cdot 3^{n-1}$ $a_{n+1}=4\cdot 2^{n-1} + 9 \cdot 3^{n-1}$ $a_{n+1}=2^{n+1} + 3^{n+1}$