Točno
23. listopada 2013. 21:28 (10 godine, 8 mjeseci)
Sakrij rješenje
Na koliko dijelova
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
pravaca u općem položaju siječe ravninu?
(Za pravce kažemo da su u općem položaju ako niti jedna dva nisu paralelna i niti jedna tri se ne sijeku u istoj točki)
%V0
Na koliko dijelova $n$ pravaca u općem položaju siječe ravninu?
(Za pravce kažemo da su u općem položaju ako niti jedna dva nisu paralelna i niti jedna tri se ne sijeku u istoj točki)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Promatrajmo dodavanje
![n+1](/media/m/2/a/7/2a7327e09a84d01a602088c9f045cbde.png)
-og pravca. On ce, kao sto smo zakljucili u proslom zadatku imati
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
sjecista. Dio ravnine prije prvog sjecista dijela na dva dijela (dakle, povecao je broj za
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
), dio izmedu prvog i drugog isto, i tako sve do dijela nakon
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
-tog sijecista. Dakle, ukupno
![n+1](/media/m/2/a/7/2a7327e09a84d01a602088c9f045cbde.png)
novih djelova ravnine.
Dakle, ako
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
-ti pravc dodaje jos
![n+1](/media/m/2/a/7/2a7327e09a84d01a602088c9f045cbde.png)
dio ravnine,
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
pravaca ce dijeliti na ukupno
Baza![n=1](/media/m/4/e/4/4e466fe58c2a8f6389234c5c673f069c.png)
Jedan pravac ravninu dijelu u
![2](/media/m/e/e/e/eeef773d19a3b3f7bdf4c64f501e0291.png)
dijela,
![2=\dfrac{1\cdot2}{2}+1](/media/m/6/b/5/6b5f142d89462ec0f7926b034400ae78.png)
,
PretpostavkaPretpostavimo da
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
pravaca dijeli ravninu u
![\dfrac{n(n+1)}{2}](/media/m/d/0/1/d01ae656cc8b65ec22eabb4de25e8604.png)
dijelova
KorakDodavanjem
![n+1](/media/m/2/a/7/2a7327e09a84d01a602088c9f045cbde.png)
-og pravca dobivamo jos
![(n+1)](/media/m/3/a/9/3a9b2b28796496249e968c81a438d4da.png)
dio ravnine. Dakle, novi broj djelova ravnine je
![\dfrac{n(n+1)}{2} + 1 + n+1](/media/m/2/3/a/23afd575ab962280287ff940e5c7423b.png)
![\dfrac{n(n+1)+ 2(n+1)}{2}+1](/media/m/5/b/2/5b2519030ba2f14e6f3a06df80474c07.png)
%V0
Promatrajmo dodavanje $n+1$-og pravca. On ce, kao sto smo zakljucili u proslom zadatku imati $n$ sjecista. Dio ravnine prije prvog sjecista dijela na dva dijela (dakle, povecao je broj za $1$), dio izmedu prvog i drugog isto, i tako sve do dijela nakon $n$-tog sijecista. Dakle, ukupno $n+1$ novih djelova ravnine.
Dakle, ako $n$-ti pravc dodaje jos $n+1$ dio ravnine, $n$ pravaca ce dijeliti na ukupno $\dfrac{n(n+1)}{2}+1$
[b]Baza[/b]
$n=1$
Jedan pravac ravninu dijelu u $2$ dijela, $2=\dfrac{1\cdot2}{2}+1$, $2=2$
[b]Pretpostavka[/b]
Pretpostavimo da $n$ pravaca dijeli ravninu u $\dfrac{n(n+1)}{2}$ dijelova
[b]Korak[/b]
Dodavanjem $n+1$-og pravca dobivamo jos $(n+1)$ dio ravnine. Dakle, novi broj djelova ravnine je
$\dfrac{n(n+1)}{2} + 1 + n+1$
$\dfrac{n(n+1)+ 2(n+1)}{2}+1$
$\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}+1$
31. listopada 2013. 22:39 | ikicic | Točno |