Rješenja zadatka "1 - Invarijante 4." korisnika "Veki"

Točno

29. listopada 2013. 16:24 (11 godine, 3 mjeseci)
Sakrij rješenje

Korisnik: Veki
Zadatak: 1 - Invarijante 4. (Sakrij tekst zadatka)

Na ploči su napisani brojevi $1$ do $10^{2013}$ . U svakom koraku obrišemo sve brojeve i umjesto svakog od njih napišemo sumu znamenaka obrisanog broja. Postupak ponavljamo dok svi brojevi na ploći nisu jednoznamenkasti. Ima li više brojeva $1$ ii $2$ ? Koliko ima kojih brojeva?

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

U svakom koraku umjesto broja pisemo sumu njegovih znamenaka. Suma znamenaka nas naravno podsjeca na mod $3$ i mod $9$ . Ocito je da je svaki korak inavrijantan s obzirom na ostatak pri djeljenju s oba ta broja. Ostatak pri djeljenju s $9$ nam odmah govori i koji ce konkretan jednoznamenkas broj svaki pocetni broj postati.
Kako broj $10^{2013} \equiv 1 \pmod 9$ , jedinica je ocito vise. Potrebno je jos samo provejriti koliko ima brojeva koji daju koji ostatak pri djeljenju s $9$ . Jedinica ima $\dfrac{10^{2013}-1}{9}+1$ , a dvojki $\dfrac{10^{2013}-1}{9}$ .

Školjka

Ocjene: (1)