Točno
29. listopada 2013. 16:24 (10 godine, 8 mjeseci)
Sakrij rješenje
Na ploči su napisani brojevi
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
do
![10^{2013}](/media/m/5/9/1/5913d355908a40487b724b2023d379c5.png)
. U svakom koraku obrišemo sve brojeve i umjesto svakog od njih napišemo sumu znamenaka obrisanog broja. Postupak ponavljamo dok svi brojevi na ploći nisu jednoznamenkasti. Ima li više brojeva
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
ii
![2](/media/m/e/e/e/eeef773d19a3b3f7bdf4c64f501e0291.png)
? Koliko ima kojih brojeva?
%V0
Na ploči su napisani brojevi $1$ do $10^{2013}$ . U svakom koraku obrišemo sve brojeve i umjesto svakog od njih napišemo sumu znamenaka obrisanog broja. Postupak ponavljamo dok svi brojevi na ploći nisu jednoznamenkasti. Ima li više brojeva $1$ ii $2$? Koliko ima kojih brojeva?
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
U svakom koraku umjesto broja pisemo sumu njegovih znamenaka. Suma znamenaka nas naravno podsjeca na mod
![3](/media/m/b/8/2/b82f544df38f2ea97fa029fc3f9644e0.png)
i mod
![9](/media/m/7/f/0/7f02ff2403dbf63ddc4395762441de88.png)
. Ocito je da je svaki korak inavrijantan s obzirom na ostatak pri djeljenju s oba ta broja. Ostatak pri djeljenju s
![9](/media/m/7/f/0/7f02ff2403dbf63ddc4395762441de88.png)
nam odmah govori i koji ce konkretan jednoznamenkas broj svaki pocetni broj postati.
Kako broj
![10^{2013} \equiv 1 \pmod 9](/media/m/e/5/a/e5afc18a3ceeb0ff7dfc656490f21064.png)
, jedinica je ocito vise. Potrebno je jos samo provejriti koliko ima brojeva koji daju koji ostatak pri djeljenju s
![9](/media/m/7/f/0/7f02ff2403dbf63ddc4395762441de88.png)
. Jedinica ima
![\dfrac{10^{2013}-1}{9}+1](/media/m/5/3/e/53ed51e4543c8241836e593e37a087b5.png)
, a dvojki
![\dfrac{10^{2013}-1}{9}](/media/m/9/7/1/971c9bbdcdb7e4f9aad5b93d3f730e20.png)
.
%V0
U svakom koraku umjesto broja pisemo sumu njegovih znamenaka. Suma znamenaka nas naravno podsjeca na mod $3$ i mod $9$. Ocito je da je svaki korak inavrijantan s obzirom na ostatak pri djeljenju s oba ta broja. Ostatak pri djeljenju s $9$ nam odmah govori i koji ce konkretan jednoznamenkas broj svaki pocetni broj postati.
Kako broj $10^{2013} \equiv 1 \pmod 9$, jedinica je ocito vise. Potrebno je jos samo provejriti koliko ima brojeva koji daju koji ostatak pri djeljenju s $9$. Jedinica ima $\dfrac{10^{2013}-1}{9}+1$, a dvojki $\dfrac{10^{2013}-1}{9}$.
31. listopada 2013. 22:24 | ikicic | Točno |