Školjka

%V0 Promatrajmo ostatak tog broja pri djeljenju s $9$. Prije promjene ostatak je $\overline{a_na_{n-1}...a_0} \equiv a_n + a_{n-1} + ...+ a_0 \pmod 9$ gdje su $a_i$ znamenke. Nakon promjene imamo $\overline{a_{n-1}...a_0}+a_n \equiv (a_{n-1}+...+a_0) + a_n \pmod 9$, Jasno je da je ostatak pri djeljenju s $9$ ostao nepromjenjen. Kada bi deseteroznamenkasti broj imao sve znamenke razlicite, suma njegovih znamenaka bi bila $45$, pa bi on bio djeljiv s $9$. Pocetni broj nije djeljiv s $9$. Kontradikcija, broj ocito nema sve znamenke razlicite.