Točno
29. listopada 2013. 16:26 (10 godine, 8 mjeseci)
Sakrij rješenje
Na ploči su napisani brojevi od
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
do
![4k+2](/media/m/9/2/9/929f07fb8811a8b95e4f9cfa562f04c3.png)
, gdje je
![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
prirodan broj. Možemo odabrati neka
![2](/media/m/e/e/e/eeef773d19a3b3f7bdf4c64f501e0291.png)
broja i obrisati oba i umjesto njih napisati
![\mid a - b \mid](/media/m/3/f/4/3f4ab7ecab12d369e0e07808f53bdc50.png)
. Dokaži da, kako god birali, na kraju će ostati neparan broj.
%V0
Na ploči su napisani brojevi od $1$ do $4k+2$, gdje je $k$ prirodan broj. Možemo odabrati neka $2$ broja i obrisati oba i umjesto njih napisati $\mid a - b \mid$. Dokaži da, kako god birali, na kraju će ostati neparan broj.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kako nas zanima parnost konacnog broja, provjerimo sto se dogada sa parnosti sume u svakom koraku. Kako je
![x \equiv -x \pmod 2](/media/m/d/5/1/d51c47ca27814c09ccbb51396463149a.png)
mozemo zanemariti apsolutni vrjednost.
Kako znamo da vrijedi
![x \equiv -x \pmod 2](/media/m/d/5/1/d51c47ca27814c09ccbb51396463149a.png)
, ne samo da mozemo zanemariti apsolutnu vrijednost, nego je prilicno jasno da vrijedi i
![a+b \equiv a-b \pmod 2](/media/m/e/9/a/e9ab01a4c5e78835b19162e22a2e3a3f.png)
. Dakle, parnost sume se nikada ne mijenja. Pocetna suma je neparna (ovo se lagano pokaze na vise razlicitih nacina, pokusaj sam/sama :)), pa ce i konacni broj biti neparan.
%V0
Kako nas zanima parnost konacnog broja, provjerimo sto se dogada sa parnosti sume u svakom koraku. Kako je $x \equiv -x \pmod 2$ mozemo zanemariti apsolutni vrjednost.
Kako znamo da vrijedi $x \equiv -x \pmod 2$, ne samo da mozemo zanemariti apsolutnu vrijednost, nego je prilicno jasno da vrijedi i $a+b \equiv a-b \pmod 2$. Dakle, parnost sume se nikada ne mijenja. Pocetna suma je neparna (ovo se lagano pokaze na vise razlicitih nacina, pokusaj sam/sama :)), pa ce i konacni broj biti neparan.
31. listopada 2013. 22:42 | ikicic | Točno |