Školjka

Odgovor je $n = 7$. Intuitivno gledano ovo je točno samo zato što su $3 , 5 , 7$ triple prime. Promatraj najveći prost broj kod $n$. Ukoliko je taj prost broj twin prime , pogledaj drugog najvećeg. Nazovimo ga $r$. Ja tvrdim da $$r \nmid \prod_{\substack{p<q\leq n \\ p,q \text{ prosti}}} (p+q).$$ Pretpodstavimo prvo da zadnji prost broj nije twin prime. Tada je razlika njega i svakog drugog barem $4$ Očito zbroj nikoja dva nije $r$ jer je $r - p$ za svaki prost broj manji od $r$ a veći od $2$ paran. I $r - 2$ nije prost prema pretpostavci. Slučaj da je $p + q = rk$ za $k > 1$ je trivijalan jer je $ p + q < 2r$ Sad ako je stvarno $r$ jedan od twin prime-a točnije $r + 2$ je prost. Tada također za $r$ vrijedi isto kao i prije. Točnije $r - p$ za neki prost broj manji od $r$ a veći od $2$ je paran. I $r - 2$ nije prost jer generalno triple prime-ovi nepostoje. Također jer je razlika od $r$ i trećeg prostog broja barem $4$ tada očito vidimo $p + q \leq r + 2 + r - 4$. Sad ovo sve stoji za neke daleko proste brojeve ali na početku oni su malo zgusnuti pa imamo $2 , 3 , 5 , 7$ što očito daje jednu iznimku pa zato na tom malom intervalu imamo jedno rješenje.