Školjka

Nacrtajte skicu zadatka sa svim zadanim oznakama. \\ Za površinu trapeza $P = \frac{a+c}{2} \cdot v$ potrebna nam je duljina osnovica i visine. Dakle, potrebno je odrediti što je što! S obzirom na to da je pravac $BL$ paralelan sa $KS$ jer su oba okomita na pravac $AS$, onda su osnovica trapeza $a=\overline{KS}$ i $c=\overline{BL}$. Visina je najkraća duljina koja spaja te dvije dužine, a okomita je na obje pa mora biti dio pravca $AS$. Sada je očito da je $v = \overline{LS}$.\\ Promotrimo $\triangle ABL$ kojem je jedan kut $45^{\circ}$, a drugi pravi. Dakle, to je jednakokračni pravokutni trokut kojem su katete visina i kraća osnovica trapeza čiju površinu tražimo, a hipotenuza radijus kruga. Dakle, $v = c = \frac{r}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \mbox{ cm}$.\\ Nadalje, preostaje nam samo dobiti duljinu $a$. Možemo doći do nje preko sličnosti trokuta ili trigonometrije.\\ Prvi način: SLIČNOST TROKUTA\\ "Ogradimo" trokute $AKS$ i $BKM$, gdje je $M$ točka u kojoj se siječe okomica na pravac $KS$ kroz točku $B$. Ovom konstrukcijom dobijemo dva prava kuta (u vrhovima $S$ i $M$) i zajednički kut u vrhu $K$. Prema tome, vrijedi $\triangle AKS \sim \triangle BKM$ po $K-K$ poučku. Iz koeficijenta sličnosti slijedi da vrijedi (i uz činjenicu da je četverokut $BMLS$ kvadrat - dovoljno je izračunati duljine stranica tog četverokuta i vidjeti da je između njih pravi kut): $$\frac{\overline{AS}}{\overline{BM}} = \frac{\overline{KS}}{\overline{KM}} \Rightarrow \frac{r}{\overline{LS}} = \frac{a}{\overline{KS}-\overline{MS}}$$ $$\frac{r}{\sqrt{2}} = \frac{a}{a-\sqrt{2}}\Rightarrow \sqrt{2} = \frac{a}{a-\sqrt{2}} \Rightarrow a = \frac{2}{\sqrt{2}-1} = 2+2\sqrt{2}$$ Sada je površina trapeza: $$P=\frac{2+2\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2} \cdot {\sqrt{2}} = \frac{2+3\sqrt{2}}{2} \cdot {\sqrt{2}}=\left(1+\frac{3}{\sqrt{2}}\right)\cdot\sqrt{2} \Rightarrow P = \left(3 + \sqrt{2}\right) \mbox{cm}^{2}$$ Drugi način: TRIGONOMETRIJA\\ Neka je $\angle SAK = \alpha$. Primijetimo da je $\triangle ABS$ jednakokračan jer su mu dvije stranice zapravo radijus kružnice, a nasuprot tih stranica jednaki su kutovi. Dakle, možemo pisati $$\alpha + \alpha + \frac{\pi}{4} = \pi \Rightarrow 2\alpha = \frac{3\pi}{4}$$. Naime, sam taj kut iznosi $\frac{3\pi}{8}$, ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija ne znamo "napamet". Zato se možemo poslužiti sljedećim trikom, ali najprije vidimo da u pravokutnom trokutu $AKS$ vrijedi: $$\tan \alpha = \frac{\overline{KS}}{\overline{AS}} = \frac{a}{r} \Rightarrow a = r \cdot \tan \alpha$$. Prema tome, potrebna nam je samo vrijednost tangensa kuta $\alpha$. Naime, vrijedi (za $\alpha \in \langle 0, \frac{\pi}{2} \rangle$): $$\cos\left(2\alpha\right) = 2\cos^{2}\alpha - 1 \Rightarrow \cos\alpha = \sqrt{\frac{\cos\left(2\alpha\right)+1}{2}} = \sqrt{\frac{\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+1}{2}}=\sqrt{\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}+1}{2}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$$ i istovremeno je (uvjet je pravokutni trokut, što nam je ostvareno): $$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}}{\cos\alpha}.$$ Uvrštavanjem, dobije se: $$\tan\alpha=\frac{\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)^{2}}}{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}=1+\sqrt{2}$$ Dakle, duljina osnovice $a$ jednaka je: $$a = r \cdot \left(1+\sqrt{2}\right) = 2 + 2\sqrt{2}$$ Postupak za površinu je analogan.