Školjka

Uz pronađeni dio zadatka, znamo da vrijedi $x^{2}+y^{2}=1$. Očito vrijedi $\left(x-y\right)^{2} \geq 0$, $\forall x,y \in \mathbb{R}$. Raspisivanjem, dolazimo do nejednakosti: $$x^{2}-2xy+y^{2} \geq 0 \Rightarrow xy \leq \frac{1}{2}$$ Sada nemamo kuda (ili imamo?). Iskoristimo još jednom početnu jednadžbu (tako da stvorimo odnos između $x+y$ i $xy$): $$x^{2}+y^{2} = x^{2}+2xy+y^{2}-2xy = (x+y)^{2}-2xy = 1 \Rightarrow xy = \frac{(x+y)^{2}-1}{2}$$ Uvrštavajući u nejednakost, dobiva se: $$\frac{(x+y)^{2}-1}{2} \leq \frac{1}{2} \Rightarrow (x+y)^{2} \leq 2 \Rightarrow \left|x+y\right| \leq \sqrt{2} \Rightarrow -\sqrt{2} \leq x+y \leq \sqrt{2}$$ što je i trebalo dokazati.\\ Naravno, ovo je primjena AG nejednakosti.