Školjka

Prije samog rješavanja jednadžbe, napisat ćemo uvjete (domene logaritma), tj. za rješenje $x$ mora vrijediti $x>0$.\\ Svedimo sve na istu bazu, a pritom primjećujemo da je $0.125 = 2^{-3}$, $0.25 = 2^{-2}$ i $8 = 2^{3}$ odnosno da sve svodimo na bazu $2$.\\ Koristeći pravila $\log(ab) =\log a + \log b$ i $\log_{a^{b}} c = \frac{1}{b} \log_a c$, $\forall a,b,c \in \mathcal{D}_f$, jednadžba poprima oblik: $$-\frac{1}{3}\log_{2}(2x) - 4 \left(-\frac{1}{2}\log_{2}x\right) \cdot \left(\frac{1}{3}\log_{2}x\right)=0 \Rightarrow -\frac{1}{3}\log_{2}(2x) +\frac{2}{3}\left(\log_{2}x\right) \cdot \left(\log_{2}x\right)=0$$ $$2\left(\log_{2}x\right) \cdot \left(\log_{2}x\right)-\log_{2}(2x)=0 \Rightarrow 2 \log^{2}_{2}x-\left(\log_{2}2+\log_{2}x\right) \Rightarrow 2 \log^{2}_{2}x - \log_{2}x-1=0$$ Uvedimo supstituciju $t = \log_{2}x$, pa dobijemo jednadžbu $2t^2-t-1$ čija su rješenja: $t_{1}=-\frac{1}{2}$ i $t_{2} = 2$. Vraćajući supstituciju, dobijemo da su rješenja jednadžbe: $$\log_{2}x_{1}=t_{1} \Rightarrow x_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\log_{2}x_{2}=t_{2} \Rightarrow x_{2} = 2$$ Dakle, rješenja jednadžbe su $x\in\{\frac{1}{\sqrt{2}},2\}$.