Školjka

Zadatak s moje 3 najdraže nejednakosti :). Dokazat ćemo sljedeću lemu: $\textbf{Lema.}$ Za sve $x,y\in \mathbb{R}_{\ge0}$ vrijedi sljedeća nejednakost $$\sqrt[3]{\frac{x}{y+7}} +\sqrt[3]{\frac{y}{x+7}}\le \sqrt[3]{\frac{x+y}{7} + 2}.$$ $\textbf{Dokaz.}$ Općenito Hölderova nejednakost glasi: ako su $a_1, a_2, \dotsc, a_n, b_1, b_2, \dotsc, b_n, \dotsc, z_1, z_2, \dotsc, z_n$ nenegativni realni brojevi i $\lambda_a, \lambda_b, \dotsc, \lambda_z$ nenegativni realni brojevi sa sumom $1$, onda $$(a_1 + \dotsb + a_n)^{\lambda_a} (b_1 + \dotsb + b_n)^{\lambda_b} \dotsm (z_1 + \dotsb + z_n)^{\lambda_z} \geq a_1^{\lambda_a}b_1^{\lambda_b} \dotsm z_1^{\lambda_z} + \dotsb + a_n^{\lambda_a}b_n^{\lambda_b} \dotsm z_n^{\lambda_z}$$ U našem slučaju, imat ćemo da je $a_1=x$, $a_2=7$, $b_1=7$, $b_2=y$, $c_1=x+7$, $c_2=y+7$, te $\lambda_a= \lambda_b= \lambda_c=\frac{1}{3}$. Imamo da je \begin{align*} (x+7)^{\frac{1}{3}}(7+y)^{\frac{1}{3}}\big((x+7) + (y+7)\big)^{\frac{1}{3}} &\ge \sqrt[3]{7x(x+7)} + \sqrt[3]{7y(y+7)}\\ \Leftrightarrow \big((x+7) + (y+7)\big)^{\frac{1}{3}} &\ge \sqrt[3]{\frac{7x}{y+7}} + \sqrt[3]{\frac{7y}{x+7}}\\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{x+y}{7}+2} &\ge \sqrt[3]{\frac{x}{y+7}} + \sqrt[3]{\frac{y}{x+7}} \end{align*} I to dokazuje našu lemu. Nadalje, neka je $\alpha_1\ge\alpha_2\ge\alpha_3\ge\alpha_4$ permutacija brojeva $a,b,c,d$. Onda po rearrangementu imamo $$ \sqrt[3]{\frac{a}{b+7}} + \sqrt[3]{\frac{b}{c+7}} + \sqrt[3]{\frac{c}{d+7}} + \sqrt[3]{\frac{d}{a+7}} \le \sum_{i + j = 5} \sqrt[3]{\frac{\alpha_i}{\alpha_j + 7}}$$ Pa konačno po lemi imamo $$\sqrt[3]{\frac{\alpha_4}{\alpha_1+7}} +\sqrt[3]{\frac{\alpha_1}{\alpha_4+7}}\le \sqrt[3]{\frac{\alpha_4+\alpha_1}{7} + 2}$$ $$\sqrt[3]{\frac{\alpha_3}{\alpha_2+7}} +\sqrt[3]{\frac{\alpha_2}{\alpha_3+7}}\le \sqrt[3]{\frac{\alpha_3+\alpha_2}{7} + 2}$$ Zbrajajući te dvije nejednakosti dobivamo $$\sum_{i + j = 5} \sqrt[3]{\frac{\alpha_i}{\alpha_j + 7}}\le \sqrt[3]{\frac{\alpha_4+\alpha_1}{7} + 2}+\sqrt[3]{\frac{\alpha_3+\alpha_2}{7} + 2}$$ Na kraju, koristeći nejednskosti među potencijalnim sredinama imamo: $$\sqrt[3]{\frac{\alpha_4+\alpha_1}{7} + 2}+\sqrt[3]{\frac{\alpha_3+\alpha_2}{7} + 2}=\sqrt[3]{\frac{\alpha_4+\alpha_1+14}{7}} + \sqrt[3]{\frac{\alpha_3+\alpha_2+14}{7}} \leqslant \sqrt[3]{4\left(\frac{\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4+28}{7}\right)} = \sqrt[3]{\frac{512}{7}}$$ Znači, taj maksimum iznosi $\sqrt[3]{\frac{512}{7}}$, a postiže se za $\alpha_4+\alpha_1=\alpha_3+\alpha_2$ te $\frac{\alpha_4}{7}=\frac{7}{\alpha_1}$ i $\frac{\alpha_3}{7}=\frac{7}{\alpha_2}$ gdje se lako dobije da se jednakost postiže za $(a,b,c,d)$ ciklička permutacija $(1,49,1,49)$ i to je to. Najssss!!!