Školjka

Po Hölderovoj nejednakosti imamo:\begin{center} $\sum_{}^{}\frac{x}{\sqrt{x^2+2yz+1}}\sum_{}^{}\frac{x}{\sqrt{x^2+2yz+1}}\sum_{}^{}x(x^2+2yz+1) \geq (x+y+z)^3$\\ \end{center} Sad ako dokažemo $(x+y+z)^3 \geq \sum_{}^{}x(x^2+2yz+1)$ direktno slijedi tvrdnja zadatka. \begin{center} $(x+y+z)^3 \geq \sum_{}^{}x(x^2+2yz+1) $\\ $\Leftrightarrow 3(x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y) \geq x+y+z=18xyz$\\ $\Leftrightarrow x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y \geq 6xyz$,\\ \end{center} što vrijedi po A-G nejednakosti.