Školjka

Neka je $z = x + yi$, gdje je $x,y \in \mathbb{R}$. Cilj nam je srediti izraz $\frac{z-i}{z+i}$ tako da vidimo koji je njegov realni dio. Slijedi: $$\frac{z-i}{z+i}=\frac{x+yi-i}{x+yi+i} = \frac{x+i\left(y-1\right)}{x+i\left(y+1\right)} \cdot \underbrace{\frac{x-i\left(y+1\right)}{x-i\left(y+1\right)}}_{=1}= \frac{\left[x+i\left(y-1\right)\right]\left[x-i\left(y+1\right)\right]}{\left[x+i\left(y+1\right)\right]\left[x-i\left(y+1\right)\right]} = \frac{x^{2}+ix\left(y-1\right)-ix\left(y+1\right)-i^{2}(y+1)(y-1)}{x^{2}-\left(i(y+1)\right)^{2}}$$ $$\frac{x^{2}+y^2-1+i\left(xy-x-xy-x\right)}{x^2+(y+1)^2}=\frac{x^2+y^2-1-2ix}{x+(y+1)^2}$$ Dakle, $\mbox{Re}\left(\frac{z-i}{z+i}\right) = \frac{x^2+y^2-1}{x+(y+1)^2}$. Iz pretpostavke da je realni dio jednak nuli, slijedi: $$\frac{x^2+y^2-1}{x+(y+1)^2} = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1$$ Što trebamo dobiti? Moramo dobiti da je $|z|=1$, a znamo da je $|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$. Korjenovanjem jednadžbe, dobijemo: $$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1}\Rightarrow |z|=1$$, što je i trebalo dokazati. \\ Međutim, pripazimo da tvrdnja ne vrijedi $z=-i$ jer za taj $z$ nije definiran razlomak $\frac{z-i}{z+i}$, a onda nije ni $\mbox{Re}{\left(\frac{z-i}{z+i}\right)}$ definiran. Prema tome, taj uvjet nema smisla promatrati.