Školjka

Iz uvjeta $ab+bc+ca=1$ koristeći opće poznatu nejednakost $ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2$ dobivamo $$3\le 3ab+3bc+3ca\le a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$$ Iz ovoga slijedi $$a+b+c\ge\sqrt{3}\Longleftrightarrow \frac{3}{a+b+c}\le\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$$ Nadalje, opet koristeći uvjet zadatka i nejednakost $2ab\stackrel{\text{AG}}{\le} a^2+b^2$ dobivamo \begin{align*} 4\le4ab+4bc+4ca=3bc+3ca+2ab+2ab+bc+ca&\le3bc+3ac+a^2+ab+ac+b^2+ab+bc\\ &=3c(a+b)+a(a+b+c)+b(a+b+c)\\ &=3c(a+b)+(a+b)(a+b+c)\\ &=(a+b+c)(a+b)(c\frac{3}{a+b+c}+1)\\ &\le(a+b+c)(a+b)(c\sqrt{3}+1) \end{align*} te djeljenjem sa $a+b+c$ direktno slijedi tvrdnja zadatka; $$\frac{4}{a + b + c} \leq (a + b)(c\sqrt{3} + 1)$$ I to je to. Najsss!