Školjka

Uvjet zadatka je da su svi relativno prosti brojevi s $n$ koji su manji od $n$ članovi aritmetičkog niza. Očito $a_{1}=1$ i $a_{k}=n-1$. \\ Neka je $d=a_{i}-a_{i-1}$. Za $d=1$ dobivamo da su svi brojevi koji su manji od $n$ relativno prosti s $n$, pa je $n$ prost broj. \\ Za $d=2$ dobivamo da su članovi niza redom $1,3,5,\cdots$ pa $n$ mora biti potencija broja $2$. \\ Pretpostavimo sad da je $d>2$. Promotrimo $a_{2}$. Kako je on prvi član niza nakon $1$, on mora biti prost. Zapišimo $a_2=p$, tada $d=a_{2}-a_{1}=p-1$. \\ Po formuli za članove aritmetičkog niza imamo: \begin{center} $a_{k}=d(k-1)+a_{1} \Leftrightarrow n-2=(p-1)(k-1)$ \end{center} $d>2 \Rightarrow p>3$ pa $3 \vert n$, odnosno $(p-1)(k-1) \equiv 1 \pmod 3$. To znači da $p \equiv 2 \pmod 3$, ali tad \begin{center} $a_3=2(p-1)+1=2p-1 \equiv 4-1 \equiv 0 \pmod 3,$ \end{center} što je kontradikcija jer su $a_{3}$ i $n$ relativno prosti. \\ Dakle, $n$ mora biti prost ili potencija broja $2$.