Točno
13. studenoga 2013. 20:21 (10 godine, 8 mjeseci)
Sakrij rješenje
Sakrij rješenje
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Da bi pokazali da
nuzno je i dovoljno da
i
.
Dakle, zelimo pokazati da
i
.
![n^3 + n \equiv 0 \pmod 2](/media/m/9/a/f/9af103d7b2316b83f5676d7f97f73c24.png)
Pogledajmo koje ostatke daju trece potencije brojeva pri djeljenju s
, u ovisnosti o brojevima samim:
![\begin {tabular} {l l l}
n & $n^2$ & $n^3$ \\
0 & 0 &0\\
1&1&1
\end {tabular}](/media/m/c/d/7/cd7c02f43afaaf61a25b458db868d5a8.png)
Primjetimo da su stupci
i
potpuno isti. Dakle znamo da uvjek vrijedi ![n^3 \equiv n \pmod 2](/media/m/a/2/1/a21fd83beb77721b9ca7b4d1723a3023.png)
Uvrstavanjem dobivamo
to jest
. Dakle, djeljivost s
smo pokazali.
![n^3 + 2n \equiv 0 \pmod 3](/media/m/2/c/1/2c12a954c070abc5da4814ed2a83f366.png)
Pogledajmo koje ostatke daju trece potencije brojeva pri djeljenju s
, u ovisnosti o brojevima samim:
![\begin {tabular} {l l l}
n & $n^2$ & $n^3$ \\
0 & 0 &0\\
1&1&1\\
2&1&2
\end {tabular}](/media/m/a/b/9/ab9c59cd93324e492960887674b2b8e2.png)
Primjetimo da su stupci
i
potpuno isti. Dakle znamo da uvjek vrijedi ![n^3 \equiv n \pmod 3](/media/m/2/3/d/23d5e1cc603265aa77568493f4eed5ed.png)
Uvrstavanjem dobivamo
to jest
. Dakle, djeljivost s
smo pokazali.
Kako smo pokazali da je izraz uvjek djeljiv s
i s
, znamo da je uvjek djeljiv i sa
.
![6|a](/media/m/3/d/9/3d9e753a9ebb7c6b32f7b6953056fee4.png)
![3|a](/media/m/6/8/b/68b0265cb7d32e602f02a33348e0be14.png)
![2|a](/media/m/9/3/d/93d2f58dfb7826a1b0da266ab4c8fc05.png)
Dakle, zelimo pokazati da
![n^3 + 5n \equiv 0 \pmod 2](/media/m/4/f/7/4f7c28651fbc655abf410c5b65593245.png)
![n^3 + 5n \equiv 0 \pmod 3](/media/m/9/3/a/93a2b48cfe586db04e674b7ac4f0c743.png)
![n^3 + 5n \equiv 0 \pmod 2](/media/m/4/f/7/4f7c28651fbc655abf410c5b65593245.png)
![n^3 + n \equiv 0 \pmod 2](/media/m/9/a/f/9af103d7b2316b83f5676d7f97f73c24.png)
Pogledajmo koje ostatke daju trece potencije brojeva pri djeljenju s
![2](/media/m/e/e/e/eeef773d19a3b3f7bdf4c64f501e0291.png)
![\begin {tabular} {l l l}
n & $n^2$ & $n^3$ \\
0 & 0 &0\\
1&1&1
\end {tabular}](/media/m/c/d/7/cd7c02f43afaaf61a25b458db868d5a8.png)
Primjetimo da su stupci
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
![n^3](/media/m/2/a/0/2a030f66294fa151004f6dbed9993b93.png)
![n^3 \equiv n \pmod 2](/media/m/a/2/1/a21fd83beb77721b9ca7b4d1723a3023.png)
Uvrstavanjem dobivamo
![2n \equiv 0 \pmod 2](/media/m/3/e/e/3eed6e1bac8f3664c0fda33a4a790e9b.png)
![0 \equiv 0 \pmod 2](/media/m/b/6/b/b6b5d3af1281c532a96eb04a0b0d4edc.png)
![2](/media/m/e/e/e/eeef773d19a3b3f7bdf4c64f501e0291.png)
![n^3 + 5n \equiv 0 \pmod 3](/media/m/9/3/a/93a2b48cfe586db04e674b7ac4f0c743.png)
![n^3 + 2n \equiv 0 \pmod 3](/media/m/2/c/1/2c12a954c070abc5da4814ed2a83f366.png)
Pogledajmo koje ostatke daju trece potencije brojeva pri djeljenju s
![3](/media/m/b/8/2/b82f544df38f2ea97fa029fc3f9644e0.png)
![\begin {tabular} {l l l}
n & $n^2$ & $n^3$ \\
0 & 0 &0\\
1&1&1\\
2&1&2
\end {tabular}](/media/m/a/b/9/ab9c59cd93324e492960887674b2b8e2.png)
Primjetimo da su stupci
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
![n^3](/media/m/2/a/0/2a030f66294fa151004f6dbed9993b93.png)
![n^3 \equiv n \pmod 3](/media/m/2/3/d/23d5e1cc603265aa77568493f4eed5ed.png)
Uvrstavanjem dobivamo
![3n \equiv 0 \pmod 3](/media/m/c/e/0/ce01b6f1e71eb3886711319e47fa6403.png)
![0 \equiv 0 \pmod 3](/media/m/b/8/1/b818bf8adc5283b9781809a3726d8836.png)
![3](/media/m/b/8/2/b82f544df38f2ea97fa029fc3f9644e0.png)
Kako smo pokazali da je izraz uvjek djeljiv s
![2](/media/m/e/e/e/eeef773d19a3b3f7bdf4c64f501e0291.png)
![3](/media/m/b/8/2/b82f544df38f2ea97fa029fc3f9644e0.png)
![6](/media/m/e/e/e/eeec330d59a70f8ed1d6882474cb02a3.png)