Školjka

%V0 Nuzno je i dovoljno pokazati da je $n^5 -n \equiv 0 \pmod 2$, $n^5 -n \equiv 0 \pmod 3$ i $n^5 -n \equiv 0 \pmod 5$. Promatrajmo ostatke koje pete potencije daju pri djelnjenju s $2$ u ovisnosti o brojevima $$$\begin {tabular} {l l l l l} n & $n^2$ & $n^3$ & $n^4$ & $n^5$\\ 0 & 0 &0&0&0\\ 1&1&1&1&1\\ \end {tabular}$$$ Primjetimo da su stupci $n$ i $n^5$ potpuno isti. Dakle znamo da uvjek vrijedi $n^5 \equiv n \pmod 2$ to jest $n^5 - n \equiv 0 \pmod 2$ Promatrajmo ostatke koje pete potencije daju pri djelnjenju s $3$ u ovisnosti o brojevima $$$\begin {tabular} {l l l l l} n & $n^2$ & $n^3$ & $n^4$ & $n^5$\\ 0 & 0 &0&0&0\\ 1&1&1&1&1\\ 2&1&2&1&2 \end {tabular}$$$ Primjetimo da su stupci $n$ i $n^5$ potpuno isti. Dakle znamo da uvjek vrijedi $n^5 \equiv n \pmod 3$ to jest $n^5 - n \equiv 0 \pmod 3$ Promatrajmo ostatke koje pete potencije daju pri djelnjenju s $5$ u ovisnosti o brojevima $$$\begin {tabular} {l l l l l} n & $n^2$ & $n^3$ & $n^4$ & $n^5$\\ 0 & 0 &0&0&0\\ 1&1&1&1&1\\ 2&4&3&1&2\\ 3&4&2&1&3\\ 4&1&4&1&4 \end {tabular}$$$ Primjetimo da su stupci $n$ i $n^5$ potpuno isti. Dakle znamo da uvjek vrijedi $n^5 \equiv n \pmod 5$ to jest $n^5 - n \equiv 0 \pmod 5$ Dakle, kako je izraz uvjek djeljiv s $2$ $3$ i $5$, uvjek je djeljiv s $30$.