Točno
13. studenoga 2013. 20:27 (10 godine, 8 mjeseci)
Sakrij rješenje
Za koje prirodne brojeve
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
vrijedi
![120|n^5 - n](/media/m/b/d/7/bd7ad92c8518d4cdc0318d23e124121c.png)
?
%V0
Za koje prirodne brojeve $n$ vrijedi $120|n^5 - n$?
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Potrebno je odrediti za koje
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
vrijedi
![n^5 -n\equiv 0 \pmod {120}](/media/m/e/2/6/e26bdebc4abe235d688bacd1c7850ddd.png)
sto je ekvivalentno tome da odredimo za koje
![n^5 -n\equiv 0 \pmod 3](/media/m/e/8/f/e8f86308de145ed34fcf7088d2ce6c05.png)
,
![n^5 -n\equiv 0 \pmod 5](/media/m/a/5/b/a5b6dd496b0d7bcdc95c319a49ad3236.png)
i
![n^5 -n\equiv 0 \pmod 8](/media/m/7/5/4/754c73349dba22421d2ebf5573550cf0.png)
.
Promatrajmo ostatke koje pete potencije daju pri djelnjenju s
![3](/media/m/b/8/2/b82f544df38f2ea97fa029fc3f9644e0.png)
u ovisnosti o brojevima
![\begin {tabular} {l l l l l}
n & $n^2$ & $n^3$ & $n^4$ & $n^5$\\
0 & 0 &0&0&0\\
1&1&1&1&1\\
2&1&2&1&2
\end {tabular}](/media/m/a/a/b/aab77568d675d412d290cf5b1f34067b.png)
Primjetimo da su stupci
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
i
![n^5](/media/m/f/8/9/f8974af4642f190f2d581737251c6647.png)
potpuno isti. Dakle znamo da uvjek vrijedi
![n^5 \equiv n \pmod 3](/media/m/f/7/8/f786239c882b9698c6709deaf68ecf48.png)
to jest
![n^5 - n \equiv 0 \pmod 3](/media/m/7/2/2/722e29b03b21d882a17b493c7147e864.png)
Promatrajmo ostatke koje pete potencije daju pri djelnjenju s
![5](/media/m/e/a/3/ea36c795dac330f34d395d8364d379b6.png)
u ovisnosti o brojevima
![\begin {tabular} {l l l l l}
n & $n^2$ & $n^3$ & $n^4$ & $n^5$\\
0 & 0 &0&0&0\\
1&1&1&1&1\\
2&4&3&1&2\\
3&4&2&1&3\\
4&1&4&1&4
\end {tabular}](/media/m/7/2/5/725a4e8f0eaf8d6ff9df66f0b9832182.png)
Primjetimo da su stupci
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
i
![n^5](/media/m/f/8/9/f8974af4642f190f2d581737251c6647.png)
potpuno isti. Dakle znamo da uvjek vrijedi
![n^5 \equiv n \pmod 5](/media/m/0/4/9/0496b9507914f12e4a2729eb5e03c250.png)
to jest
![n^5 - n \equiv 0 \pmod 5](/media/m/7/8/4/78458c24f49c7c89160e4d5e9ecc8c32.png)
Potrebno je dakle jos provjeriti za koje
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
vrijedi
![n^5 -n \equiv 0 \pmod 8](/media/m/0/5/2/05285b9b7ef6984132b7b484b4046dfb.png)
Promatrajmo ostatke koje pete potencije daju pri djelnjenju s
![8](/media/m/3/d/2/3d2c45264dbff498f9bcb16af5f83881.png)
u ovisnosti o brojevima
![\begin {tabular} {l l l l l}
n & $n^2$ & $n^3$ & $n^4$ & $n^5$\\
0 & 0 &0&0&0\\
1&1&1&1&1\\
2&4&0&0&0\\
3&1&3&1&3\\
4&0&0&0&0\\
5&1&5&1&5\\
6&4&0&0&0\\
7&1&7&1&7
\end {tabular}](/media/m/a/7/5/a7557dabca43260b0789333995dcbb37.png)
Dakle,
![n^5 \equiv n \pmod 8](/media/m/d/8/4/d847b259ec61591af7b18929efba9ffc.png)
ako i samo ako je
![n \equiv 0,1,3,5,7 \pmod 8](/media/m/0/2/c/02c615bba1f05c888333dcb3e90c0d1f.png)
. Dakle,
![n^5 - n \equiv 0 \pmod 8](/media/m/f/d/5/fd5e8393b538bcde039ca63b3273f6b7.png)
vrijedi za sve
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
koji su djeljivi s
![8](/media/m/3/d/2/3d2c45264dbff498f9bcb16af5f83881.png)
ili su neparni.
%V0
Potrebno je odrediti za koje $n$ vrijedi $n^5 -n\equiv 0 \pmod {120}$ sto je ekvivalentno tome da odredimo za koje $n$ $n^5 -n\equiv 0 \pmod 3$, $n^5 -n\equiv 0 \pmod 5$ i $n^5 -n\equiv 0 \pmod 8$.
Promatrajmo ostatke koje pete potencije daju pri djelnjenju s $3$ u ovisnosti o brojevima
$$$\begin {tabular} {l l l l l}
n & $n^2$ & $n^3$ & $n^4$ & $n^5$\\
0 & 0 &0&0&0\\
1&1&1&1&1\\
2&1&2&1&2
\end {tabular}$$$
Primjetimo da su stupci $n$ i $n^5$ potpuno isti. Dakle znamo da uvjek vrijedi $n^5 \equiv n \pmod 3$ to jest $n^5 - n \equiv 0 \pmod 3$
Promatrajmo ostatke koje pete potencije daju pri djelnjenju s $5$ u ovisnosti o brojevima
$$$\begin {tabular} {l l l l l}
n & $n^2$ & $n^3$ & $n^4$ & $n^5$\\
0 & 0 &0&0&0\\
1&1&1&1&1\\
2&4&3&1&2\\
3&4&2&1&3\\
4&1&4&1&4
\end {tabular}$$$
Primjetimo da su stupci $n$ i $n^5$ potpuno isti. Dakle znamo da uvjek vrijedi $n^5 \equiv n \pmod 5$ to jest $n^5 - n \equiv 0 \pmod 5$
Potrebno je dakle jos provjeriti za koje $n$ vrijedi $n^5 -n \equiv 0 \pmod 8$
Promatrajmo ostatke koje pete potencije daju pri djelnjenju s $8$ u ovisnosti o brojevima
$$$\begin {tabular} {l l l l l}
n & $n^2$ & $n^3$ & $n^4$ & $n^5$\\
0 & 0 &0&0&0\\
1&1&1&1&1\\
2&4&0&0&0\\
3&1&3&1&3\\
4&0&0&0&0\\
5&1&5&1&5\\
6&4&0&0&0\\
7&1&7&1&7
\end {tabular}$$$
Dakle, $n^5 \equiv n \pmod 8$ ako i samo ako je $n \equiv 0,1,3,5,7 \pmod 8$. Dakle, $n^5 - n \equiv 0 \pmod 8$ vrijedi za sve $n$ koji su djeljivi s $8$ ili su neparni.
16. studenoga 2013. 22:30 | grga | Točno |