Školjka

%V0 Potrebno je odrediti za koje $n$ vrijedi $n^5 -n\equiv 0 \pmod {120}$ sto je ekvivalentno tome da odredimo za koje $n$ $n^5 -n\equiv 0 \pmod 3$, $n^5 -n\equiv 0 \pmod 5$ i $n^5 -n\equiv 0 \pmod 8$. Promatrajmo ostatke koje pete potencije daju pri djelnjenju s $3$ u ovisnosti o brojevima $$$\begin {tabular} {l l l l l} n & $n^2$ & $n^3$ & $n^4$ & $n^5$\\ 0 & 0 &0&0&0\\ 1&1&1&1&1\\ 2&1&2&1&2 \end {tabular}$$$ Primjetimo da su stupci $n$ i $n^5$ potpuno isti. Dakle znamo da uvjek vrijedi $n^5 \equiv n \pmod 3$ to jest $n^5 - n \equiv 0 \pmod 3$ Promatrajmo ostatke koje pete potencije daju pri djelnjenju s $5$ u ovisnosti o brojevima $$$\begin {tabular} {l l l l l} n & $n^2$ & $n^3$ & $n^4$ & $n^5$\\ 0 & 0 &0&0&0\\ 1&1&1&1&1\\ 2&4&3&1&2\\ 3&4&2&1&3\\ 4&1&4&1&4 \end {tabular}$$$ Primjetimo da su stupci $n$ i $n^5$ potpuno isti. Dakle znamo da uvjek vrijedi $n^5 \equiv n \pmod 5$ to jest $n^5 - n \equiv 0 \pmod 5$ Potrebno je dakle jos provjeriti za koje $n$ vrijedi $n^5 -n \equiv 0 \pmod 8$ Promatrajmo ostatke koje pete potencije daju pri djelnjenju s $8$ u ovisnosti o brojevima $$$\begin {tabular} {l l l l l} n & $n^2$ & $n^3$ & $n^4$ & $n^5$\\ 0 & 0 &0&0&0\\ 1&1&1&1&1\\ 2&4&0&0&0\\ 3&1&3&1&3\\ 4&0&0&0&0\\ 5&1&5&1&5\\ 6&4&0&0&0\\ 7&1&7&1&7 \end {tabular}$$$ Dakle, $n^5 \equiv n \pmod 8$ ako i samo ako je $n \equiv 0,1,3,5,7 \pmod 8$. Dakle, $n^5 - n \equiv 0 \pmod 8$ vrijedi za sve $n$ koji su djeljivi s $8$ ili su neparni.