Točno
13. studenoga 2013. 20:28 (10 godine, 8 mjeseci)
Sakrij rješenje
Odredi najmanji prirodni broj
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
tako da je polovina od
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
kvadrat nekog prirodnog broja, trećina od
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
kub nekog prirodnog broja, a petina od
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
peta potencija nekog prirodnog broja.
%V0
Odredi najmanji prirodni broj $n$ tako da je polovina od $n$ kvadrat nekog prirodnog broja, trećina od $n$ kub nekog prirodnog broja, a petina od $n$ peta potencija nekog prirodnog broja.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
![\frac{n}{2}=x^2](/media/m/3/1/3/31309df3e7329d3581f9954bc438e748.png)
![\frac{n}{3}=y^3](/media/m/0/a/8/0a878667c3c118f9f82d68678a25ba9f.png)
![\frac{n}{5}=z^5](/media/m/6/4/a/64aa15f3516e02960d6043695d717fe9.png)
Znamo da je
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
djeljiv s
![2](/media/m/e/e/e/eeef773d19a3b3f7bdf4c64f501e0291.png)
,
![3](/media/m/b/8/2/b82f544df38f2ea97fa029fc3f9644e0.png)
i
![5](/media/m/e/a/3/ea36c795dac330f34d395d8364d379b6.png)
. Kako trazimo najmanji
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
, mozemo uzeti da nije djeljiv niti sa jednim drugim prostim brojem.
Tada je
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
oblika
![n=2^a3^b5^c](/media/m/1/6/1/16120c5792da4ed5e3a74d611d0c325d.png)
. Ako je
![t=i^j](/media/m/a/d/5/ad5f70770801464a4c47933120846e2b.png)
, onda su svi eksponenti protih brojeva u raspisu broja
![t](/media/m/7/f/6/7f630d3904cfcd77d22bd7938423df6c.png)
djeljivi s
![j](/media/m/7/9/e/79ebb10f98eb80d16b0c785d9d682a72.png)
.
Iz
![\frac{n}{2}=x^2](/media/m/3/1/3/31309df3e7329d3581f9954bc438e748.png)
dobivamo
![2^{a-1}3^b5^c=x^2](/media/m/4/6/b/46b5996e3e5dd418d3fa242ccbb74c14.png)
pa su
![a-1](/media/m/e/1/b/e1bcb84a9cbd1c2961d91e0e12b0a5b2.png)
,
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
i
![c](/media/m/e/a/3/ea344283b6fa26e4a02989dd1fb52a51.png)
parni.
Iz
![\frac{n}{3}=y^3](/media/m/0/a/8/0a878667c3c118f9f82d68678a25ba9f.png)
dobivamo
![2^{a}3^{b-1}5^c=y^3](/media/m/e/2/b/e2b377dc88e89aca9695eab3f1151827.png)
pa su
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
,
![b-1](/media/m/c/5/a/c5a6116902e1f56d4ca4716c62834ccd.png)
i
![c](/media/m/e/a/3/ea344283b6fa26e4a02989dd1fb52a51.png)
djeljivi s
![3](/media/m/b/8/2/b82f544df38f2ea97fa029fc3f9644e0.png)
.
Iz
![\frac{n}{5}=z^5](/media/m/6/4/a/64aa15f3516e02960d6043695d717fe9.png)
dobivamo
![2^{a}3^b5^{c-1}=z^5](/media/m/e/5/0/e504aade85b2c1b225edaf552e544a9c.png)
pa su
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
,
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
i
![c-1](/media/m/0/0/1/001dce7663f166f9548cf3f60c90eb36.png)
djeljivi s
![5](/media/m/e/a/3/ea36c795dac330f34d395d8364d379b6.png)
.
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
je najmanji broj takav da je
![a-1](/media/m/e/1/b/e1bcb84a9cbd1c2961d91e0e12b0a5b2.png)
paran i
![3](/media/m/b/8/2/b82f544df38f2ea97fa029fc3f9644e0.png)
i
![5](/media/m/e/a/3/ea36c795dac330f34d395d8364d379b6.png)
djele
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
. Lagano se vidi da je to
![15](/media/m/8/f/3/8f3c9ff2c5f5085be88380fc85a87f7d.png)
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
je najmanji broj takav da je
![b-1](/media/m/c/5/a/c5a6116902e1f56d4ca4716c62834ccd.png)
djeljiv s
![3](/media/m/b/8/2/b82f544df38f2ea97fa029fc3f9644e0.png)
i
![2](/media/m/e/e/e/eeef773d19a3b3f7bdf4c64f501e0291.png)
i
![5](/media/m/e/a/3/ea36c795dac330f34d395d8364d379b6.png)
djele
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
. Lagano se vidi da je to
![10](/media/m/5/b/e/5beb46430dbe2d22c0f8289c36a92c84.png)
![c](/media/m/e/a/3/ea344283b6fa26e4a02989dd1fb52a51.png)
je najmanji broj takav da je
![c-1](/media/m/0/0/1/001dce7663f166f9548cf3f60c90eb36.png)
djeljiv s
![5](/media/m/e/a/3/ea36c795dac330f34d395d8364d379b6.png)
i
![3](/media/m/b/8/2/b82f544df38f2ea97fa029fc3f9644e0.png)
i
![2](/media/m/e/e/e/eeef773d19a3b3f7bdf4c64f501e0291.png)
djele
![c](/media/m/e/a/3/ea344283b6fa26e4a02989dd1fb52a51.png)
. Lagano se vidi da je to
![6](/media/m/e/e/e/eeec330d59a70f8ed1d6882474cb02a3.png)
Dakle,
%V0
$\frac{n}{2}=x^2$
$\frac{n}{3}=y^3$
$\frac{n}{5}=z^5$
Znamo da je $n$ djeljiv s $2$, $3$ i $5$. Kako trazimo najmanji $n$, mozemo uzeti da nije djeljiv niti sa jednim drugim prostim brojem.
Tada je $n$ oblika $n=2^a3^b5^c$. Ako je $t=i^j$, onda su svi eksponenti protih brojeva u raspisu broja $t$ djeljivi s $j$.
Iz $\frac{n}{2}=x^2$ dobivamo $2^{a-1}3^b5^c=x^2$ pa su $a-1$,$b$ i $c$ parni.
Iz $\frac{n}{3}=y^3$ dobivamo $2^{a}3^{b-1}5^c=y^3$ pa su $a$,$b-1$ i $c$ djeljivi s $3$.
Iz $\frac{n}{5}=z^5$ dobivamo $2^{a}3^b5^{c-1}=z^5$ pa su $a$,$b$ i $c-1$ djeljivi s $5$.
$a$ je najmanji broj takav da je $a-1$ paran i $3$ i $5$ djele $a$. Lagano se vidi da je to $15$
$b$ je najmanji broj takav da je $b-1$ djeljiv s $3$ i $2$ i $5$ djele $b$. Lagano se vidi da je to $10$
$c$ je najmanji broj takav da je $c-1$ djeljiv s $5$ i $3$ i $2$ djele $c$. Lagano se vidi da je to $6$
Dakle, $n=2^{15}3^{10}5^{6}$
16. studenoga 2013. 22:32 | grga | Točno |