Točno
13. studenoga 2013. 20:34 (10 godine, 8 mjeseci)
Dokaži da ako su brojevi
![p](/media/m/1/c/8/1c85c88d10b11745150467bf9935f7de.png)
i
![p^2+2](/media/m/1/3/f/13f6d8e15414ec2ae8d894d7465dbe59.png)
prosti, onda je i
![p^3 +4](/media/m/f/d/8/fd847747010f680b7a6168aa2bed06a6.png)
prost.
%V0
Dokaži da ako su brojevi $p$ i $p^2+2$ prosti, onda je i $p^3 +4$ prost.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kako se spominje kvadrat, ponovno cemo gledati ostatke pri djeljenju s
![3](/media/m/b/8/2/b82f544df38f2ea97fa029fc3f9644e0.png)
.
Pogledajmo koje ostatke kvadrati daju pri djeljenju s
![3](/media/m/b/8/2/b82f544df38f2ea97fa029fc3f9644e0.png)
:
![\begin {tabular}{l l l l}
n&0&1&2\\
$n^2$&0&1&1
\end {tabular}](/media/m/6/0/6/606b5857778b5a38b660ef35bb9d32d9.png)
Dakle, ako
![p \neq 3](/media/m/a/3/9/a395f5247f0fb171525098149ab00c69.png)
onda je
![p^2 \equiv 1 \pmod 3](/media/m/1/3/c/13c3312fc7cc32beca3fe0775de8eaeb.png)
pa je
![p^2 + 2 \equiv 1 + 2 \equiv 0 \pmod 3](/media/m/7/8/c/78ceaa0aa62878de847023b662609b1e.png)
pa ocito nije prost.
Dakle,
![p=3](/media/m/e/3/a/e3a64f4ec64a0b9a04312a649bdc3fd3.png)
pa je
![p^2+2=11](/media/m/9/a/4/9a4ce1c96b18af0cccb9756d85dcba40.png)
, a
![p^3+4=31](/media/m/4/e/f/4ef416e30ba89a017f0809188ab93977.png)
sto je prost broj.
%V0
Kako se spominje kvadrat, ponovno cemo gledati ostatke pri djeljenju s $3$.
Pogledajmo koje ostatke kvadrati daju pri djeljenju s $3$:
$$$\begin {tabular}{l l l l}
n&0&1&2\\
$n^2$&0&1&1
\end {tabular}$$$
Dakle, ako $p \neq 3$ onda je $p^2 \equiv 1 \pmod 3$ pa je $p^2 + 2 \equiv 1 + 2 \equiv 0 \pmod 3$ pa ocito nije prost.
Dakle, $p=3$ pa je $p^2+2=11$, a $p^3+4=31$ sto je prost broj.
16. studenoga 2013. 22:37 | grga | Točno |