Neocijenjeno
8. prosinca 2013. 12:05 (10 godine, 7 mjeseci)
Sakrij rješenje
U trokutu
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
simetrale kuta
![\gamma](/media/m/2/4/a/24aca7af13a8211060a900a49ef999e9.png)
pri vrhu
![C](/media/m/5/a/b/5ab88f3f735b691e133767fe7ea0483c.png)
siječe nasuprotnu stranicu
![\overline{AB}](/media/m/a/1/a/a1a42310b1a849922197735f632d57ec.png)
u točki
![N](/media/m/f/1/9/f19700f291b1f2255b011c11d686a4cd.png)
. Točka
![D](/media/m/7/0/0/7006c4b57335ab717f8f20960577a9ef.png)
izvan trokuta
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
je takva da je
![|AN|=|ND|](/media/m/c/f/2/cf210b01691f87c595e6dd66c5fe9787.png)
i da je
![\angle{ADN}= \frac{\gamma}{2}](/media/m/0/6/2/0624c2deef5f21ce310d70f41a5127ae.png)
. Dokažite da je
![AB](/media/m/5/2/9/5298bd9e7bc202ac21c423e51da3758e.png)
simetrala kuta
![\angle{DBC}](/media/m/2/c/9/2c97782013cfce54ed12e16bb103d1e5.png)
.
%V0
U trokutu $ABC$ simetrale kuta $\gamma$ pri vrhu $C$ siječe nasuprotnu stranicu $\overline{AB}$ u točki $N$. Točka $D$ izvan trokuta $ABC$ je takva da je $|AN|=|ND|$ i da je $\angle{ADN}= \frac{\gamma}{2}$. Dokažite da je $AB$ simetrala kuta $\angle{DBC}$.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Trokut
![ADN](/media/m/0/6/9/069b6673db3dcd0bdcce25d7f613848b.png)
je jednakokračan pa je
![\angle{NAD} = \angle{ADN} = \frac{\gamma}{2}](/media/m/6/6/5/6652ef70ca4822943257e064df760f22.png)
. Budući da je
![\angle{BND}](/media/m/9/0/e/90eb101a592c405f4cd3fc696514a436.png)
vanjski kut tog trokuta vrijedi
![\angle{BND} = \angle{NAD} + \angle{ADN} = \gamma](/media/m/3/6/5/365e30c16117936e78609a9886973269.png)
. Po teoremu o simetrali kuta vrijedi
![\frac{AC}{BC} = \frac{AN}{NB}=](/media/m/3/7/d/37d3641ec13e50627fe6c9dc7ab0cf5d.png)
(po uvijetu zadatka)
![=\frac{DN}{NB}](/media/m/9/5/0/950585334e6dded73a13801ebcf7f053.png)
. Po teoremu SKS zakljucujemo da su trokuti
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
i
![DNB](/media/m/f/6/d/f6d93cfe1da719df654caf610c772737.png)
slični. Zato je
![\angle{DBA} = \angle{DBN} = \angle{ABC}](/media/m/c/4/8/c48acb6f04ce1245f5c017a8b016c107.png)
odnosno polupravac
![BA](/media/m/f/3/e/f3ee5efe9b25bd27cd3ada1235d36017.png)
dijeli kut
![\angle{DBC}](/media/m/2/c/9/2c97782013cfce54ed12e16bb103d1e5.png)
na dva jednaka dijela, pa je simetrala.
%V0
Trokut $ADN$ je jednakokračan pa je $\angle{NAD} = \angle{ADN} = \frac{\gamma}{2}$. Budući da je $\angle{BND}$ vanjski kut tog trokuta vrijedi $ \angle{BND} = \angle{NAD} + \angle{ADN} = \gamma $. Po teoremu o simetrali kuta vrijedi $ \frac{AC}{BC} = \frac{AN}{NB}=$ (po uvijetu zadatka) $=\frac{DN}{NB}$. Po teoremu SKS zakljucujemo da su trokuti $ABC$ i $DNB$ slični. Zato je $\angle{DBA} = \angle{DBN} = \angle{ABC}$ odnosno polupravac $BA$ dijeli kut $\angle{DBC}$ na dva jednaka dijela, pa je simetrala.