Točno
8. prosinca 2013. 12:07 (10 godine, 7 mjeseci)
Sakrij rješenje
Dokaži da za svaki prost broj
![p](/media/m/1/c/8/1c85c88d10b11745150467bf9935f7de.png)
vrijedi. Ako
![p|a-b](/media/m/6/2/d/62de33a2fcde4e7f2856c06c83f0499b.png)
onda
%V0
Dokaži da za svaki prost broj $p$ vrijedi. Ako $p|a-b$ onda $p^2|a^p - b^p$
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Raspises razliku
![p](/media/m/1/c/8/1c85c88d10b11745150467bf9935f7de.png)
-tih potencija,
![a-b](/media/m/3/0/c/30c4dc4baca89d41475d253434e82468.png)
je djeljivo s
![p](/media/m/1/c/8/1c85c88d10b11745150467bf9935f7de.png)
. Dakle, dovoljno je pokazati da je
![a^{p-1} + a^{p-2}b + ... + b^{p-1}](/media/m/1/7/5/1754da5a5c2c261165b7b481f525593d.png)
djeljivo s
![p](/media/m/1/c/8/1c85c88d10b11745150467bf9935f7de.png)
. Ako uvrstimo da je
![a \equiv b \pmod p](/media/m/d/9/d/d9d970f20c9c5409c72b637fb3281f85.png)
dobivamo da je
%V0
Raspises razliku $p$-tih potencija, $a-b$ je djeljivo s $p$. Dakle, dovoljno je pokazati da je $a^{p-1} + a^{p-2}b + ... + b^{p-1}$ djeljivo s $p$. Ako uvrstimo da je $a \equiv b \pmod p$ dobivamo da je $a^{p-1} + a^{p-2}b + ... + b^{p-1} \equiv pa^{p-1} \equiv 0 \pmod p$
10. prosinca 2013. 19:58 | ikicic | Točno |