Rješenja zadatka "skakavac 2014 prvo kolo ss3 3" korisnika "grga"

Neocijenjeno

8. prosinca 2013. 12:12 (10 godine, 5 mjeseci)
Sakrij rješenje

Korisnik: grga
Zadatak: skakavac 2014 prvo kolo ss3 3 (Sakrij tekst zadatka)

Zadane su 2 kružnice, $k$ i $l$ , koje se sijeku u točkama $A_1$ i $B_1$ . Neka je $p$ pravac određen točkama $A_1$ i $B_1$ . Dane su proizvoljne točke $A$ i $B$ s pravca $p$ tako da je dužina $\overline{A_1B_1}$ sadržana u dužini $\overline{AB}$ , te tako da vrijedi $0 \neq |AA_1| \neq |BB_1| \neq 0$ . Na kružnici $k$ , odabrane su točke $M$ i $N$ , s iste strane pravca $p$ , takve da su pravci $AM$ i $BN$ tangente na kružnicu $k$ . Na kružnici $l$ , odabrane su točke $R$ i $S$ , s iste strane pravca $p$ , ali s različite strane u odnosu na točke $M$ i $N$ , takve da su pravci $AR$ i $BS$ tangente na kružnicu $l$ . Dokažite da se pravci $MN$ i $RS$ sijeku u točki koja je na pravcu $p$ .

Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.

neka je $C$ sjeciste od $AM$ i $BN$ , te neka je $H$ sjeciste $MN$ i $p$ , jasno ova dva pravca nisu paralelna zbog uvjeta $|AA_1| \neq |BB_1|$ . menelaj na trokut $ABC$ s obzirom na pravac $MN$ nam daje
$\dfrac{|AH|}{|HB|}\dfrac{|BN|}{|NC|}\dfrac{|CM|}{|MA|} = 1$
kako je ocito $|CN| = |CM|$ , slijedi
$\dfrac{|AH|}{|HB|} = \dfrac{|MA|}{|BN|}$
ista prica sa druge strane, uz $G$ sjeciste $RS$ i $p$ daje
$\dfrac{|AG|}{|GB|} = \dfrac{|RA|}{|BS|}$
ali potencija tocke nam daje $|AM|^2 = |AA_1||AB_1| = |AR|^2$ , te $|BN|^2 = |BB_1||BA_1| = |BS|^2$ , sto nam daje
$\dfrac{|AH|}{|HB|} = \dfrac{|AG|}{|GB|}$
sto znaci da $H$ i $G$ dijele $\overline{AB}$ u istom omjeru, a buduci da su te dvije tocke s istih strana tocaka i $A$ i $B$ , zakljucujemo da su one medusobno jednake, iz cega slijedi tvrdnja zadatka.

Školjka